设 $\theta_i$ 为实数，且 $x_i=1+3\sin^2\theta,i=1,2,\cdots,n$，证明：$$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}\right)\leqslant\left(\dfrac{5n}{4}\right)^2.$$
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛江苏省复赛（加试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $x_i=1+3\sin^2\theta_i$，所以$$1\leqslant x_i\leqslant4,i=1,2,\cdots,n.$$由平均值不等式，得\[\begin{split}&(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}\right)\\=&\left(\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_2}{2}+\cdots+\dfrac{x_n}{2}\right)\left(\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{2}{x_2}+\cdots+\dfrac{2}{x_n}\right)\\\leqslant&\dfrac14\left(\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_2}{2}+\cdots+\dfrac{x_n}{2}+\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{2}{x_2}+\cdots+\dfrac{2}{x_n}\right)^2\\=&\dfrac14\left(\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{x_2}{2}+\dfrac{2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_n}{2}+\dfrac{2}{x_n}\right)^2.\end{split}\]考查函数$$f(x)=\dfrac{x}{2}+\dfrac{2}{x},x\in[1,4],$$易得 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 为减函数，在区间 $[2,4]$ 为增函数，故 $f(x)$ 在区间 $[1,4]$ 上端点处取得最大值．
又因为$$f(1)=f(4)=\dfrac 52,$$所以当 $1\leqslant x\leqslant4$ 时，$f(x)\leqslant\dfrac52$，从而 $f(x_i)\leqslant\dfrac52,i=1,2,\cdots,n$．所以$$\dfrac14\left(\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{x_2}{2}+\dfrac{2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_n}{2}+\dfrac{2}{x_n}\right)^2\leqslant\dfrac14\left(\dfrac{5n}{2}\right)^2=\left(\dfrac{5n}{4}\right)^2.$$
又因为$$f(1)=f(4)=\dfrac 52,$$所以当 $1\leqslant x\leqslant4$ 时，$f(x)\leqslant\dfrac52$，从而 $f(x_i)\leqslant\dfrac52,i=1,2,\cdots,n$．所以$$\dfrac14\left(\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{2}{x_1}+\dfrac{x_2}{2}+\dfrac{2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_n}{2}+\dfrac{2}{x_n}\right)^2\leqslant\dfrac14\left(\dfrac{5n}{2}\right)^2=\left(\dfrac{5n}{4}\right)^2.$$
答案
解析
备注
