数列 $\{x_n\}$ 定义为 $x_1=3$，$x_{n+1}=[\sqrt2x_n](n\in\mathbb N^*)$．求所有的 $n$，使得 $x_n,x_{n+1},x_{n+2}$ 成等差数列．（这里 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）
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【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛江苏省复赛（加试）
【标注】
【答案】
$1,3$
【解析】
因为 $x_n,x_{n+1},x_{n+2}$ 成等差数列，所以$$x_n+x_{n+2}=2x_{n+1},$$即$$2[\sqrt2x_n]=x_n+[\sqrt2[\sqrt2x_n]].\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$由于 $x-1<[x]\leqslant x$，所以$$2[\sqrt2x_n]\leqslant2\sqrt2x_n,$$故$$\begin{split}x_n+[\sqrt2[\sqrt2x_n]]&>x_n+\sqrt2[\sqrt2x_n]-1\\&>x_n+\sqrt2(\sqrt2x_n-1)-1\\&=3x_n-\sqrt2-1.\end{split}$$结合 $\text{ ① }$ 得$$3x_n-\sqrt2-1<2\sqrt2x_n,$$即 $x_n<7+5\sqrt2<15$．
另一方面，数列 $\{x_n\}(n\geqslant1)$ 为递增数列．
事实上，$x_1=3,x_2=[3\sqrt2]=4>x_1$，故$$\begin{split}x_{n+1}&=[\sqrt2x_n]>\sqrt2x_n-1\\&=x_n+x_n(\sqrt2-1)-1\\&\geqslant x_n+3(\sqrt2-1)-1\\&>x_n.\end{split}$$计算得$$x_1=3,x_2=4,x_3=5,x_4=7,x_5=9,x_6=12,x_7=16,\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$所以当 $n\geqslant7$ 时，$x_n>15$，故所求的 $n\leqslant6$．
于是由 $\text{ ② }$ 可知，满足条件的 $n=1$ 或 $n=3$．
另一方面，数列 $\{x_n\}(n\geqslant1)$ 为递增数列．
事实上，$x_1=3,x_2=[3\sqrt2]=4>x_1$，故$$\begin{split}x_{n+1}&=[\sqrt2x_n]>\sqrt2x_n-1\\&=x_n+x_n(\sqrt2-1)-1\\&\geqslant x_n+3(\sqrt2-1)-1\\&>x_n.\end{split}$$计算得$$x_1=3,x_2=4,x_3=5,x_4=7,x_5=9,x_6=12,x_7=16,\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$所以当 $n\geqslant7$ 时，$x_n>15$，故所求的 $n\leqslant6$．
于是由 $\text{ ② }$ 可知，满足条件的 $n=1$ 或 $n=3$．
答案
解析
备注
