• 题型

  >

  代几综合

  >

  函数与圆

略

设抛物线的函数表达式为 $y=ax^2+bx+c$，
则 $\begin{cases} 4=c, \\ 0=4a-2b+c, \\ 0=64a-8b+c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a=\dfrac 14, \\ b=\dfrac 52, \\ c=4.\end{cases}$
所以经过 $B,C,D$ 三点的抛物线的函数表达式为 $y=\dfrac 14x^2+\dfrac 52x+4$．
因为 $ y=\dfrac 14x^2+\dfrac 52x+4=\dfrac 14\left(x+5\right)^2-\dfrac 94$，
所以 $E\left(-5,-\dfrac 94\right)$．
设直线 $CE$ 的函数表达式为 $y=mx+n$，
则 $\begin{cases} 0=-2m+n, \\ -\dfrac 94=-5m+n,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=\dfrac 34, \\ n=\dfrac 32.\end{cases}$
所以直线 $CE$ 的函数表达式为 $y=\dfrac 34x+\dfrac 32$．
当 $x=0$ 时，$y=\dfrac 32$，
故直线 $CE$ 与 $y$ 轴交于点 $G$ 的坐标为 $\left(0,\dfrac 32\right)$．
如图，连接 $AB,AC,AG$．则 $BG=OB-OG=4-\dfrac 32=\dfrac 52$，$CG=\sqrt {OC^2+OG^2}=\sqrt {2^2+\left(\dfrac 32\right)^2}=\dfrac 52$，
所以 $BG=CG$，$AB=AC$，$AG=AG$，
所以 $\triangle ABG\cong \triangle ACG$，
所以 $ \angle ACG=\angle ABG$．
因为 $ \odot A$ 与 $y$ 轴相切于点 $B\left(0,4\right)$，
所以 $ \angle ABG=90^\circ$，
所以 $ \angle ACG=\angle ABG=90^\circ$．
因为点 $C$ 在 $\odot A$ 上，
所以直线 $CE$ 与 $\odot A$ 相切．

• 题型

  >

  代几综合

  >

  函数与面积

存在点 $F$，使 $\triangle BDF$ 的面积最大．点 $F$ 为 $\left(-4,-2\right)$

如图，连接 $BD,BF,DF$．设点 $F$ 的坐标为 $\left(t,\dfrac 14t^2+\dfrac 52t+4\right)$．
过点 $F$ 作 $FH \parallel y$ 轴，交 $BD$ 于点 $H$．
设直线 $BD$ 的函数表达式为 $y=kx+d$，
则 $\begin{cases} 4=d, \\ 0=-8k+d,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\dfrac 12,\\ d=4.\end{cases}$
所以直线 $BD$ 的函数表达式为 $y=\dfrac 12x+4$，
所以 $ FH=\dfrac 12t+4-\left(\dfrac 14t^2+\dfrac 52t+4\right)=-\dfrac 14t^2-2t$，
所以
$\begin{split} S_{\triangle BDF}&=S_{\triangle DHF}+S_{\triangle BHF}\\&=\dfrac 12\cdot DO\cdot FH\\&=\dfrac 12\times 8\times \left(-\dfrac 14t^2-2t\right)\\&=-t^2-8t\\&=-\left(t+4\right)^2+16.\end{split}$
所以当 $t=-4$ 时，$S_{\triangle BDF}$ 最大，最大值为 $16$．
当 $t=-4$ 时，$\dfrac 14t^2+\dfrac 52t+4=\dfrac 14\times \left(-4\right)^2+\dfrac 52\times \left(-4\right)+4=-2$，
此时点 $F$ 为 $\left(-4,-2\right)$．