设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3,a_2=8,a_{n+2}=2a_{n+1}+2a_n,n\in\mathbb N^*$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$a_n=\dfrac{2+\sqrt3}{2\sqrt3}(1+\sqrt3)^n+\dfrac{\sqrt3-2}{2\sqrt3}(1-\sqrt3)^n$
【解析】
对应的特征方程是$$x^2=2x+2,$$所以特征根为 $x_1=1+\sqrt3$，$x_2=1-\sqrt3$，于是$$a_n=A_1(1+\sqrt3)^n+A_2(1-\sqrt3)^n.$$由初始条件得$$\begin{cases}A_1(1+\sqrt3)+A_1(1-\sqrt3)=3,\\ A_1(1+\sqrt3)^2+A_2(1-\sqrt3)^2=8,\end{cases}$$解得 $A_1=\dfrac{2+\sqrt3}{2\sqrt3}$，$A_2=\dfrac{\sqrt3-2}{2\sqrt3}$．
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为$$a_n=\dfrac{2+\sqrt3}{2\sqrt3}(1+\sqrt3)^n+\dfrac{\sqrt3-2}{2\sqrt3}(1-\sqrt3)^n.$$
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为$$a_n=\dfrac{2+\sqrt3}{2\sqrt3}(1+\sqrt3)^n+\dfrac{\sqrt3-2}{2\sqrt3}(1-\sqrt3)^n.$$
答案
解析
备注
