设正实数 $x,y,z$ 满足 $xyz=1$．试求 $f(x,y,z)=(1-yz+z)(1-zx+x)(1-xy+y)$ 的最大值及此时 $x,y,z$ 的值．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
当 $x=y=z=1$ 时，$f(x,y,z)_{\max}=1$
【解析】
因为$$1-yz+z=z(1+xy-y),\\1-zx+x=xz(y+xy-1),$$故 $1-yz+z,1-zx+x,1-xy+y$ 中最多只有一个为负．
不妨设三式都为正，由\[\begin{split}&(1-yz+z)(1-zx+x)(1-xy+y)\\=&(x-xyz+xz)(y-xyz+xy)(z-xyz+yz)\\=&(x-1+xz)(y-1+xy)(z-1+yz),\end{split}\]得\[\begin{split}f^2(x,y,z)&=[(1-yz+z)(1-xz+z)(1-xy+y)]^2\\&=[(1-yz+z)(1-xz+x)(1-xy+y)]\cdot[(x-1+xz)(y-1+xy)(z-1+yz)]\\&=[z^2-(1-yz)^2][x^2-(1-xz)^2][y^2-(1-xy)^2]\\&\leqslant(xyz)^2\\&=1,\end{split}\]当 $x=y=z=1$ 时，等号成立，所以$$f(x,y,z)_{\max}=1.$$
不妨设三式都为正，由\[\begin{split}&(1-yz+z)(1-zx+x)(1-xy+y)\\=&(x-xyz+xz)(y-xyz+xy)(z-xyz+yz)\\=&(x-1+xz)(y-1+xy)(z-1+yz),\end{split}\]得\[\begin{split}f^2(x,y,z)&=[(1-yz+z)(1-xz+z)(1-xy+y)]^2\\&=[(1-yz+z)(1-xz+x)(1-xy+y)]\cdot[(x-1+xz)(y-1+xy)(z-1+yz)]\\&=[z^2-(1-yz)^2][x^2-(1-xz)^2][y^2-(1-xy)^2]\\&\leqslant(xyz)^2\\&=1,\end{split}\]当 $x=y=z=1$ 时，等号成立，所以$$f(x,y,z)_{\max}=1.$$
答案
解析
备注
