如图，已知直线 $y=x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$，将直线在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“$V$ 形折线”）．双曲线 $y=\dfrac kx$ 与新函数的图象交于点 $C\left(1,a\right)$，点 $D$ 是线段 $AC$ 上一动点（不包括端点），过点 $D$ 作 $x$ 轴的平行线，与新函数图象交于另一点 $E$，与双曲线交于点 $P$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
试求 $\triangle PAD$ 的面积的最大值；标注答案$\triangle PAD$ 的面积的最大值为 $\dfrac{25}{8}$解析直线 $y=x+3$ 关于 $x$ 对称的直线解析式为 $y=-x-3$．
而直线 $y=x+3$ 与 $x$ 轴的交点 $A$ 的坐标为 $\left(-3,0\right)$．
故新函数的解析式为 $y=\begin{cases}x+3\left(x\geqslant -3\right),\\ -x-3\left(x<-3\right).\end{cases}$
因为点 $C(1,a)$ 在新函数图象上，
所以当 $x=1$ 时，$y=1+3=4$，
即点 $C$ 的坐标为 $(1,4)$．
而点 $C\left(1,4\right)$ 在双曲线 $y=\dfrac kx$ 上，
所以 $k=1\times 4=4$，
即双曲线的解析式为 $y=\dfrac 4x$．
由题意可设 点 $D$ 的坐标为 $\left(m,m+3\right)$，且 $-3<m<1$．
则点 $P$ 坐标为 $\left( \dfrac{4}{m+3},m+3\right)$，
所以 $PD=\dfrac{4}{m+3}-m$，
即 $\triangle PAD$ 的面积为
$\begin{split}S&=\dfrac 12\left(\dfrac{4}{m+3}-m\right)\times \left(m+3\right)\\&=-\dfrac 12 m^2-\dfrac 32 m+2\\&=-\dfrac 12\left(m+ \dfrac 32\right)^2+\dfrac{25}{8}.\end{split}$
而 $-3<-\dfrac 32<1$，
所以当 $m=-\dfrac 32$ 时，$S$ 有最大值为 $\dfrac{25}{8}$．
即 $\triangle PAD$ 的面积的最大值为 $\dfrac{25}{8}$． -
探索：在点 $D$ 运动的过程中，四边形 $PAEC$ 能否为平行四边形？若能，求出此时点 $D$ 的坐标；若不能，请说明理由．标注答案在点 $D$ 运动的过程中，四边形 $PAEC$ 不能为平行四边形解析当点 $D$ 为 $AC$ 的中点时，其坐标为 $\left(-1,2\right)$，
此时 $P$ 点的坐标为 $\left(2,2\right)$，$E$ 点的坐标．为 $\left(-5,2\right)$，
所以 $DP=3$，$DE=4$，
因为 $EP$ 与 $AC$ 不能互相平分，
所以四边形 $PAEC$ 不能为平行四边形．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
