设直线 $y=x+m$（$m>0$）与 $y$ 轴交于点 $A$，与双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}4=1$ 相交于点 $B,C$，且 $|AB|<|AC|$，则 $\dfrac{|AC|}{|AB|}$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试理科数学（二测）
【标注】
【答案】
【解析】
设 $\dfrac{|AC|}{|AB|}=\lambda$，联立直线与双曲线方程，有\[3x^2-2mx-m^2-4=0,\]从而\[(-2m)^2=\left(-\lambda-\dfrac{1}{\lambda}+2\right)\cdot 3\cdot (-m^2-4),\]于是\[\lambda+\dfrac{1}{\lambda}-2=\dfrac{4m^2}{3m^2+12},\]因此 $\lambda$ 的取值范围是 $(1,3)$．
题目
答案
解析
备注
