已知 ${x_{n+1}}=\dfrac{{{x_n}+4}}{{{x_n}+1}}$，${x_1}=1$，求证：当 $n \geqslant 2$ 时，$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n {\left| {{x_i}-2} \right|} \leqslant 2-{2^{1-n}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
利用不动点法容易知道数列 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 为摆动数列，且极限为 $2$．利用不动点 $2$，构造裂项$$\dfrac{{{x_{n+1}}-2}}{{{x_n}-2}}=- \dfrac{1}{{{x_n}+1}},$$于是$$\left| {\dfrac{{{x_{n+1}}-2}}{{{x_n}-2}}} \right|=\left| {\dfrac{1}{{{x_n}+1}}} \right| \leqslant \dfrac{1}{2}({x_n} \geqslant 1),$$因此由等比放缩法，$$\sum\limits_{i=1}^n {\left| {{x_i}-2} \right|} \leqslant \dfrac{{\left| {{x_1}-2} \right|\left( {1-\dfrac{1}{{{2^n}}}} \right)}}{{1-\dfrac{1}{2}}}=2-\dfrac{1}{{{2^{n-1}}}}.$$
答案
解析
备注
