已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足：${a_1}=1$，${a_{n+1}}={a_n}+\dfrac{1}{{{a_n}}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求证：$\sqrt {2n-1}<{a_n}<\sqrt {3n-2} $（$n \geqslant 2$）；标注答案略解析只需要证明$$2n-1<{a_n}^2<3n-2,$$尝试分析通项证明$$2<{a_{n+1}}^2-{a_n}^2<3.$$事实上，$$a_{n+1}^2={\left( {{a_n}+\dfrac{1}{{{a_n}}}} \right)^2}=a_n^2+\dfrac{1}{{a_n^2}}+2.$$不难证明 $0<\dfrac{1}{{a_n^2}}<1$，于是原不等式得证．
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求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n {\dfrac{1}{{{a_k}}} \leqslant \sqrt {2n-1} } $．标注答案略解析尝试分析通项证明$$\dfrac{1}{{{a_n}}} \leqslant \sqrt {2n-1}-\sqrt {2n-3}=\dfrac{2}{{\sqrt {2n-1}+\sqrt {2n-3} }}.$$事实上 ${a_n} \geqslant \sqrt {2n-1} $，于是$$\dfrac{1}{{{a_n}}} \leqslant \dfrac{1}{{\sqrt {2n-1} }}<\dfrac{2}{{\sqrt {2n-1}+\sqrt {2n-3} }}$$原不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
