求证：$n+1<{\rm{e}} \cdot \root n \of {n ! } $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原不等式即$$\ln \left( {n+1} \right)<\dfrac{{\sum\limits_{k=1}^n {\ln k} }}{n}+1,$$也即$$ n\left[ {\ln \left( {n+1} \right)-1} \right]<\sum\limits_{k=1}^n {\ln k}$$分析通项，尝试证明$$n\left[ {\ln \left( {n+1} \right)-1} \right]-\left( {n-1} \right)\left( {\ln n-1} \right)<\ln n \Leftrightarrow \ln \left( {1+\dfrac{1}{n}} \right)<\dfrac{1}{n}$$于是原命题得证．
答案
解析
备注
