已知 $\alpha \geqslant 2$，求证：$\dfrac{{\ln {2^\alpha }}}{{{2^\alpha }}}+\dfrac{{\ln {3^\alpha }}}{{{3^\alpha }}}+\cdots+\dfrac{{\ln {n^\alpha }}}{{{n^\alpha }}}<\dfrac{{2{n^2}-n-1}}{{2\left( {n+1} \right)}}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
分析通项，尝试证明$$\dfrac{{\ln {n^\alpha }}}{{{n^\alpha }}}<\dfrac{{2{n^2}-n-1}}{{2\left( {n+1} \right)}}-\dfrac{{2{{\left( {n-1} \right)}^2}-\left( {n-1} \right)-1}}{{2n}}=1-\dfrac{1}{{n\left( {n+1} \right)}}$$事实上，由于 $y=\dfrac{{\ln x}}{x}$ 在 $\left( {1 ,+\infty } \right)$ 上单调递减，于是有$$\dfrac{{\ln {n^\alpha }}}{{{n^\alpha }}}\leqslant \dfrac{{\ln {n^2}}}{{{n^2}}}\leqslant 1-\dfrac{1}{{{n^2}}}< 1-\dfrac{1}{{n\left( {n+1} \right)}},$$因此原不等式得证．
答案
解析
备注
