如图，抛物线 $y=a{x^2}+bx+\dfrac{5}{2}$ 与直线 $AB$ 交于点 $A\left(-1,0\right),B\left(4,\dfrac{5}{2}\right)$．点 $D$ 是抛物线 $A,B$ 两点间部分上的一个动点（不与点 $A,B$ 重合），直线 $CD$ 与 $y$ 轴平行，交直线 $AB$ 于点 $C$，连接 $AD,BD$．设点 $D$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADB$ 的面积为 $S$，求 $S$ 关于 $m$ 的函数关系式，并求出当 $S$ 取最大值时的点 $C$ 的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
点 $C$ 的坐标为 $\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4}\right)$
【解析】
由题意得 ${\begin{cases}
a-b+\dfrac{5}{2}=0,\\
16a+4b+\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{2}.\\
\end{cases}}$ 解得 ${\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\
b=2.\\
\end{cases}}$
所以抛物线解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}{x^2} + 2x + \dfrac{5}{2}$．
设直线 $AB$ 为 $y=kx+b$，则有 ${\begin{cases}
-k+b=0,\\
4k+b=\dfrac{5}{2}.\\
\end{cases}}$ 解得 ${\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\
b=\dfrac{1}{2}.\\
\end{cases}}$
所以直线 $AB$ 解析式为 $y =\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$．
从而点 $D$ 的坐标为 $\left(m,-\dfrac{1}{2}{m^2}+2m+\dfrac{5}{2}\right)$，点 $C$ 的坐标为 $\left(m,\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{2}\right)$，
所以 $CD=\left(-\dfrac{1}{2}{m^2}+2m+\dfrac{5}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}{m^2}+\dfrac{3}{2}m+2$．
所以
$\begin{split}S& = \dfrac{1}{2}\left(m + 1\right)\cdot CD + \dfrac{1}{2}\left(4 - m\right)\cdot CD
\\&=\dfrac{1}{2} \times 5×CD \\&=\dfrac{1}{2} \times 5×\left( - \dfrac{1}{2}{m^2} + \dfrac{3}{2}m + 2\right)\\&= - \dfrac{5}{4}{m^2} + \dfrac{15}{4}m + 5.\end{split}$
因为 $- \dfrac{5}{4} < 0$，
所以当 $m = \dfrac{3}{2}$ 时，$S$ 有最大值．
当 $m = \dfrac{3}{2}$ 时，$\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{4}$．
即点 $C$ 的坐标为 $\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4}\right)$．
a-b+\dfrac{5}{2}=0,\\
16a+4b+\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{2}.\\
\end{cases}}$ 解得 ${\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2},\\
b=2.\\
\end{cases}}$
所以抛物线解析式为 $y=-\dfrac{1}{2}{x^2} + 2x + \dfrac{5}{2}$．
设直线 $AB$ 为 $y=kx+b$，则有 ${\begin{cases}
-k+b=0,\\
4k+b=\dfrac{5}{2}.\\
\end{cases}}$ 解得 ${\begin{cases}k=\dfrac{1}{2},\\
b=\dfrac{1}{2}.\\
\end{cases}}$
所以直线 $AB$ 解析式为 $y =\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$．
从而点 $D$ 的坐标为 $\left(m,-\dfrac{1}{2}{m^2}+2m+\dfrac{5}{2}\right)$，点 $C$ 的坐标为 $\left(m,\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{2}\right)$，
所以 $CD=\left(-\dfrac{1}{2}{m^2}+2m+\dfrac{5}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}m+\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}{m^2}+\dfrac{3}{2}m+2$．
所以
$\begin{split}S& = \dfrac{1}{2}\left(m + 1\right)\cdot CD + \dfrac{1}{2}\left(4 - m\right)\cdot CD
\\&=\dfrac{1}{2} \times 5×CD \\&=\dfrac{1}{2} \times 5×\left( - \dfrac{1}{2}{m^2} + \dfrac{3}{2}m + 2\right)\\&= - \dfrac{5}{4}{m^2} + \dfrac{15}{4}m + 5.\end{split}$
因为 $- \dfrac{5}{4} < 0$，
所以当 $m = \dfrac{3}{2}$ 时，$S$ 有最大值．
当 $m = \dfrac{3}{2}$ 时，$\dfrac{1}{2}m + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{4}$．
即点 $C$ 的坐标为 $\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4}\right)$．
答案
解析
备注
