如图，已知抛物线 $ y=-x^2+bx+c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A\left(-1,0\right) $，$ B\left(3,0\right) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，抛物线的对称轴与抛物线交于点 $ P $，与直线 $ BC $ 相交于点 $ M $，连接 $ PB $．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
在位于第一象限内的抛物线上是否存在点 $ D $，使得 $ \triangle BCD $ 的面积最大？若存在，求出 $ D $ 点坐标及 $ \triangle BCD $ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．标注答案$ S_{\triangle BCD} $ 取最大值 $ \dfrac{27}{8} $，此时 $ D\left(\dfrac 32,\dfrac{15}{4}\right) $解析由题意可得 $\begin{cases}
-1-b+c=0,\\-9+3b+c=0,
\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=3.
\end{cases}$
所以 $y=-x^2+2x+3$．
设 $ D\left(t,-t^2+2t+3\right) $，作 $ DH\perp x轴 $，
则
$\begin{split}S_{\triangle BCD}&=S_{梯形DCOH}+S_{\triangle BDH}-S_{\triangle BOC}\\&=\dfrac 12\left(-t^2+2t+3+3\right)t+\dfrac 12\left(3-t\right)\left(-t^2+2t+3\right)-\dfrac 12\times 3\times 3\\&=-\dfrac 32t^2+\dfrac 92t .\end{split}$
从而当 $ t=-\dfrac{\dfrac 92}{2\times \left(-\dfrac 32\right)}=\dfrac 32 $ 时，$ S_{\triangle BCD} $ 取最大值 $ \dfrac{27}{8} $，此时 $ D\left(\dfrac 32,\dfrac{15}{4}\right) $． -
在抛物线上是否存在点 $ Q $，使得 $ \triangle QMB $ 与 $ \triangle PMB $ 的面积相等？若存在，求出点 $ Q $ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案$ Q $ 点为 $ Q_1\left(2,3\right) $，$ Q_2\left(\dfrac{3+\sqrt{17}}{2},-\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\right) $，$ Q_3\left(\dfrac{3-\sqrt{17}}{2},-\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\right) $解析因为直线 $ BC $ 为 $ y=-x+3 $，
所以过点 $ P(1,4)$ 且与 $ BC $ 平行的直线为 $ y=-x+5 $．
由 $\begin{cases}
y=-x+5,\\
y=-x^2+2x+3,
\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x_1=1,\\y_1=4,\end{cases}\begin{cases}x_2=2,\\y_2=3.\end{cases}$
所以 $ Q_1\left(2,3\right) $．
因为直线 $ PM $ 为 $ x=1 $，直线 $ BC $ 为 $ y=-x+3 $，
所以 $ M\left(1,2\right)$．
设 $ PM $ 与 $ x $ 轴交于 $ E $ 点，
因为 $PM=EM=2$，
所以过点 $ E $ 且与 $ BC $ 平行的直线为 $ y=-x+1 $．
从而过点 $ E $ 且与 $ BC $ 平行的直线与抛物线的交点也为所求 $ Q $ 点之一，
由 $\begin{cases}
y=-x+1,\\
y=-x^2+2x+3,
\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x_3=\dfrac{3+\sqrt{17}}{2},\\y_3=-\dfrac{1+\sqrt{17}}{2},\end{cases}\begin{cases}x_4=\dfrac{3-\sqrt{17}}{2},\\y_4=-\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}.\end{cases}$
$ Q_2\left(\dfrac{3+\sqrt{17}}{2},-\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\right) $，$ Q_3\left(\dfrac{3-\sqrt{17}}{2},-\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\right) $
所以满足条件的 $ Q $ 点为 $ Q_1\left(2,3\right) $，$ Q_2\left(\dfrac{3+\sqrt{17}}{2},-\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\right) $，$ Q_3\left(\dfrac{3-\sqrt{17}}{2},-\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\right) $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
