已知 $x_1,x_2$ 是方程 ${\rm e}^{-x}+\left[\dfrac{3x+4}{x+2}\right]=|\ln x|$ 的两个实数解，则下列结论正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
考虑到\[\left[\dfrac{3x+4}{x+2}\right]=2+\left[\dfrac{x}{x+2}\right],\]于是方程等价于\[{\rm e}^{-x}+2=|\ln x|,\]不妨设 $0<x_1<1<x_2$，则有\[\begin{cases} {\rm e}^{-x_1}+2=-\ln x_1,\\
{\rm e}^{-x_2}+2=\ln x_2,\end{cases}\]于是\[\ln (x_1x_2)=\ln x_2+\ln x_1={\rm e}^{-x_2}-{\rm e}^{-x_1},\]又\[-1<-{\rm e}^{-x_1}<{\rm e}^{-x_2}-{\rm e}^{-x_1}<0,\]于是\[\dfrac{1}{\rm e}<x_1x_2<1.\]
{\rm e}^{-x_2}+2=\ln x_2,\end{cases}\]于是\[\ln (x_1x_2)=\ln x_2+\ln x_1={\rm e}^{-x_2}-{\rm e}^{-x_1},\]又\[-1<-{\rm e}^{-x_1}<{\rm e}^{-x_2}-{\rm e}^{-x_1}<0,\]于是\[\dfrac{1}{\rm e}<x_1x_2<1.\]
题目
答案
解析
备注
