对于定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x)$，若满足：
① $f(0)=0$；
② 当 $x\in\mathbb R$ 且 $x\ne 0$ 时，都有 $xf'(x)>0$；
③ 当 $x_1<0<x_2$，且 $|x_1|=|x_2|$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$．
则称 $f(x)$ 为偏对称函数．下列函数中是偏对称函数的有 \((\qquad)\)
① $f(0)=0$；
② 当 $x\in\mathbb R$ 且 $x\ne 0$ 时，都有 $xf'(x)>0$；
③ 当 $x_1<0<x_2$，且 $|x_1|=|x_2|$ 时，都有 $f(x_1)<f(x_2)$．
则称 $f(x)$ 为偏对称函数．下列函数中是偏对称函数的有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
BC
【解析】
根据题意，偏对称函数 $f(x)$ 即满足在 $(-\infty,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，在 $x=0$ 处取得最小值 $0$，且\[\forall x>0,f(x)-f(-x)>0\]的函数．
对于选项 A，有\[f'(x)=-3x^2+3x,\]于是 $f'(1)=0$，不满足条件 ②．
对于选项 B，有\[f'(x)={\rm e}^x-1,\]又当 $x>0$ 时，有\[f(x)-f(-x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x,\]记右侧函数为 $\varphi(x)$，则\[\varphi(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2,\]因此 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，结合 $\varphi(0)=0$，可得\[\forall x>0,f(x)-f(-x)>0,\]于是 $f(x)$ 是偏对称函数．
对于选项 C，有\[f'(x)=\begin{cases} -\dfrac{1}{1-x},&x<0,\\ 2,&x>0,\end{cases}\]又当 $x>0$ 时，有\[f(x)+f(-x)=2x+\ln(1+x)>2x+1-\dfrac{1}{1+x}>0,\]因此 $f(x)$ 是偏对称函数．
对于选项 D，由于\[f(-x)=-x\left(\dfrac{1}{2^{-x}-1}+\dfrac 12\right)=x\left(-\dfrac{2^x}{1-2^x}-\dfrac 12\right)=f(x),\]因此函数 $f(x)$ 为偶函数，当 $x>0$ 时有\[f(x)-f(-x)=0,\]因此 $f(x)$ 不是偏对称函数．
对于选项 A，有\[f'(x)=-3x^2+3x,\]于是 $f'(1)=0$，不满足条件 ②．
对于选项 B，有\[f'(x)={\rm e}^x-1,\]又当 $x>0$ 时，有\[f(x)-f(-x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-2x,\]记右侧函数为 $\varphi(x)$，则\[\varphi(x)={\rm e}^x+{\rm e}^{-x}-2,\]因此 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，结合 $\varphi(0)=0$，可得\[\forall x>0,f(x)-f(-x)>0,\]于是 $f(x)$ 是偏对称函数．
对于选项 C，有\[f'(x)=\begin{cases} -\dfrac{1}{1-x},&x<0,\\ 2,&x>0,\end{cases}\]又当 $x>0$ 时，有\[f(x)+f(-x)=2x+\ln(1+x)>2x+1-\dfrac{1}{1+x}>0,\]因此 $f(x)$ 是偏对称函数．
对于选项 D，由于\[f(-x)=-x\left(\dfrac{1}{2^{-x}-1}+\dfrac 12\right)=x\left(-\dfrac{2^x}{1-2^x}-\dfrac 12\right)=f(x),\]因此函数 $f(x)$ 为偶函数，当 $x>0$ 时有\[f(x)-f(-x)=0,\]因此 $f(x)$ 不是偏对称函数．
题目
答案
解析
备注
