设定义在 $\mathbb R$ 上的连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)$ 不恒为 $0$，且存在非零实数 $T$ 使得 $f(T)=0$，对一切实数 $\alpha,\beta$ 均有\[f(\alpha+\beta)+f(\alpha-\beta)= 2f(\alpha)\cdot f(\beta),\]则下列命题一定正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
ACD
【解析】
令 $\beta\to 0$ 可得\[2f(\alpha)=2f(\alpha)\cdot f(0),\]再令 $\alpha\to 0$ 可得\[2f(0)=2f^2(0),\]于是 $f(0)=0$ 或 $f(0)=1$．若 $f(0)=0$，则 $f(x)$ 恒为 $0$，不符合题意，于是 $f(0)=1$．
奇偶性 在原式中令 $\alpha\to 0$，有\[f(\beta)+f(-\beta)=2f(\beta),\]于是 $f(x)$ 是偶函数．
周期性 在原式中令 $\beta=T$，则\[f(\alpha+T)+f(\alpha-T)=0,\]于是 $f(x)$ 是周期为 $4T$ 的函数．取 $f(x)=\cos x$，可得选项 B 的反例．
有界性 令 $\alpha,\beta\to x$，则\[2f^2(x)=f(2x)+1,\]令 $\alpha,\beta\to x+T$，则\[2f^2(x+T)=f(2x+2T)+1,\]于是\[f^2(x)+f^2(x+T)=1,\]于是 $f(x)$ 是有界函数，且 $|f(x)|\leqslant 1$．
题目
答案
解析
备注
