设集合 $A=\left\{(x,y)\mid (x-3)^2+(y-4)^2=\dfrac 45\right\}$，$B=\left\{(x,y)\mid (x-3)^2+(y-4)^2=\dfrac{36}5\right\}$，$C=\left\{(x,y)\mid 2|x-3|+|y-4|=\lambda\right\}$，若 $(A\cup B)\cap C\ne \varnothing$，则实数 $\lambda$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
问题等价于
新问题 线段 $2x+y=\lambda$（$x,y\geqslant 0$，$\lambda>0$）上存在点 $P$，使得 $OP^2=\dfrac 45$ 或 $OP^2=\dfrac{36}5$，其中 $O$ 为坐标原点．
事实上，线段 $2x+y=\lambda$ 上的点到原点 $O$ 的距离的最小值为 $\dfrac{\lambda}{\sqrt 5}$，最大值为 $\lambda$．因此问题即\[\left(\dfrac{\lambda^2}5\leqslant \dfrac 45\leqslant \lambda^2\right)\lor\left(\dfrac{\lambda^2}5\leqslant \dfrac {36}5\leqslant \lambda^2\right),\]解得实数 $\lambda$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{2\sqrt 5}5,2\right]\cup\left[\dfrac{6\sqrt 5}5,6\right]$．
事实上，线段 $2x+y=\lambda$ 上的点到原点 $O$ 的距离的最小值为 $\dfrac{\lambda}{\sqrt 5}$，最大值为 $\lambda$．因此问题即\[\left(\dfrac{\lambda^2}5\leqslant \dfrac 45\leqslant \lambda^2\right)\lor\left(\dfrac{\lambda^2}5\leqslant \dfrac {36}5\leqslant \lambda^2\right),\]解得实数 $\lambda$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{2\sqrt 5}5,2\right]\cup\left[\dfrac{6\sqrt 5}5,6\right]$．
题目
答案
解析
备注
