点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，求证：$PA^2 + PB^2 + PC^2 \geqslant \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
到两个定点的距离的平方和为定值的点的轨迹为以两定点中点为圆心的圆．因此当 $P{B^2} + P{C^2}$ 固定时，当 $P$ 位于 $BC$ 边上的中线 $AD$ 上时 $P{A^2} + P{B^2} + P{C^2}$ 最小．
类似的，可推知 $P$ 点为重心时，$P{A^2} + P{B^2} + P{C^2}$ 最小．此时\[\begin{split}P{A^2} + P{B^2} + P{C^2}& = \dfrac{4}{9}\left( {A{D^2} + B{E^2} + C{F^2}} \right) \\&= \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right)\\&= \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}.\end{split}\]
类似的，可推知 $P$ 点为重心时，$P{A^2} + P{B^2} + P{C^2}$ 最小．此时\[\begin{split}P{A^2} + P{B^2} + P{C^2}& = \dfrac{4}{9}\left( {A{D^2} + B{E^2} + C{F^2}} \right) \\&= \dfrac{4}{9}\left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right)\\&= \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}.\end{split}\]
答案
解析
备注
