已知 $P>0$，过抛物线 $y^2=2px$ 焦点的直线斜率为 $k$ 且交抛物线于点 $A,B$，记 $f(k)=|AB|$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
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试求 $f(k)$ 的解析式；标注答案$f(k)=\dfrac{2p(k^2+1)}{k^2}$解析抛物线的焦点坐标为 $F\left(\dfrac{p}{2},0\right)$．
设直线方程为 $y=k\left(x-\dfrac{p}{2}\right)$，代入 $y^2=2px$，得$$k^2x^2-(pk^2+2p)x+\dfrac{p^2k^2}{4}=0.$$又设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则$$x_1+x_2=\dfrac{pk^2+2p}{k^2},x_1x_2=\dfrac{p^2}{4},$$所以$$f(k)=|AB|=x_1+x_2+p=\dfrac{2p(k^2+1)}{k^2}.$$ -
是否存在抛物线上的点 $C$，使得 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形且 $C$ 为直角顶点？若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．标注答案不存在解析不存在这样的点 $C$．
假设存在这样的 $\triangle ABC$，且 $C$ 为等腰直角三角形的直角顶点，不妨设直线 $AB$ 的斜率 $k>0$，$E$ 为 $AB$ 的中点，$m$ 为抛物线的准线，$l$ 为 $AB$ 的中垂线．
若满足题意的 $C$ 点存在，则 $C$ 点一定是 $l$ 与抛物线的两个交点中横坐标较小的那个点．
由于 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，所以$$\begin{split}|CE|&=|EB|=|EA|=\dfrac12|AB|\\&=\dfrac12(|AF|+|BF|)\\&=\dfrac12(|AA_1|+|BB_1|)\\&=|EE_1|,\qquad\cdots\cdots\text{ ① }\end{split}$$其中 $A_1,B_1,E_1$ 分别为由点 $A,B,E$ 向准线 $m$ 作垂线的垂足．
由于 $l$ 的斜率为负，因此$$x_C<x_E,$$其中 $x_C,x_E$ 分别是 $C$ 点和 $E$ 点的横坐标，故$$|CC_1|<|EE_1|,$$其中 $C_1$ 是 $C$ 点向准线 $m$ 做垂线的垂足．
由此知$$|CE|<|CF|=|CC_1|<|EE_1|,$$这显然与 $\text{ ① }$ 矛盾．
因此这样的点 $C$ 不存在．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
