题目 已知函数 $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x}$，数列 $\{a_n\}$ 对 $n\geqslant2,n\in\mathbb N$，总有 $a_n=f\left(\dfrac{1}{a_{n-1}}\right),a_1=1$． 问题1 求 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=\dfrac{2n+1}{3}(n\in\mathbb N^*)$ 解析1 由$$f(x)=\dfrac{2x+3}{3x},$$又$$a_n=f\left(\dfrac{1}{a_{n-1}}\right)=\dfrac{\dfrac{2}{a_{n-1}}+3}{\dfrac{3}{a_{n-1}}}=\dfrac{2+3a_{n-1}}{3}=a_{n-1}+\dfrac23,$$所以 $\{a_n\}$ 是以 $a_1$ 为首项，$\dfrac23$ 为公差的等差数列，即 $a_n=\dfrac{2n+1}{3}(n\in\mathbb N^*)$． 备注1 问题2 求和：$S_n=a_1a_2-a_2a_3+a_3a_4-a_4a_5+\cdots+(-1)^{n-1}a_na_{n+1}$； 答案2 $S_n=\begin{cases}-\dfrac29n^2-\dfrac23n,&n=1,3,5,\cdots,\\ \dfrac{2n^2+6n+7}{9},&n=2,4,6,\cdots\end{cases}$ 解析2 <case>情形一</case> 当 $n$ 为偶数时，$$\begin{split}a_{n-1}a_n-a_na_{n+1}&=a_n(a_{n-1}-a_{n+1})\\ &=-2da_n \\ &=-\dfrac43a_n,\end{split}$$所以$$\begin{split}S_n&=-\dfrac43(a_2+a_4+\cdots+a_n)\\ &=-\dfrac43\cdot\dfrac{a_2+a_n}{2}\cdot\dfrac{n}{2}\\ &=-\dfrac29n^2-\dfrac23n,\end{split}$$<case>情形二</case> 当 $n$ 为奇数时，$n-1$ 为偶数，故$$\begin{split}S_n&=S_{n-1}+a_na_{n+1}\\ &=-\dfrac29(n-1)^2-\dfrac23(n-1)+\dfrac{2n+1}{3}\cdot\dfrac{2n+3}{3}\\ &=\dfrac{2n^2+6n+7}{9}.\end{split}$$综上，$S_n=\begin{cases}-\dfrac29n^2-\dfrac23n,&2 \nmid n,\\ \dfrac{2n^2+6n+7}{9},&2\mid n.\end{cases}$ 备注2 问题3 若数列 $\{b_n\}$ 满足：<br/>① $\{b_n\}$ 为 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的子数列（即 $\{b_n\}$ 中的每一项都是 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 的项，且按在 $\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$ 中的顺序排列）；<br/>② $\{b_n\}$ 为无穷等比数列，它的各项和为 $\dfrac12$．（定义：若无穷等比数列 $\{b_n\}$ 的公比 $q$ 满足 $|q|<1$ 且 $q\ne0$，则数列 $\{b_n\}$ 各项和 $S=\dfrac{b_1}{1-q}$）．<br/>这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列 $\{b_n\}$，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由． 答案3 存在，$b_n=\dfrac{1}{3^n}$ 或 $b_n=\dfrac{3}{7^n}$ 解析3 设 $b_1=\dfrac{3}{2k+1}$，$q=\dfrac1m>0$，则$$b_1q^n=\dfrac{3}{2k+1}\cdot\dfrac{1}{m^n}=\dfrac{3}{2p+1}(k,p\in\mathbb N^*)$$对任意的 $n\in\mathbb N^*$ 均成立，故 $m$ 是正奇数．<br/>因为 $S$ 存在，所以 $m>1$；<br/><case>情形一</case> 当 $m=3$ 时，$S=\dfrac12$，此时 $b_1=\dfrac39,b_n=\dfrac{3}{3^{n+1}}$ 成立；<br/><case>情形二</case> 当 $m=5$ 时，$S=\dfrac12$，此时 $b_1=\dfrac25\not\in\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}$，不成立；<br/><case>情形三</case> 当 $m=7$ 时，$S=\dfrac12$，此时 $b_1=\dfrac37,b_n=\dfrac{3}{7^n}$，成立；<br/><case>情形四</case> 当 $m\geqslant9$ 时，$1-\dfrac1m\geqslant\dfrac89$，由 $S=\dfrac12$，得 $b_1\geqslant\dfrac49$．<br/>设 $b_1=\dfrac{3}{2k+1}$，则 $k\leqslant\dfrac{23}{8}$，又因为 $k\in\mathbb N^*$，所以 $k=1,2$，此时 $b_1=1$ 或 $b_1=\dfrac35$，分别代入 $S=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac12$，得到 $q<0$，不合题意．<br/>由此，满足条件的 $\{b_n\}$ 只有两个，即 $b_n=\dfrac{1}{3^n}$ 或 $b_n=\dfrac{3}{7^n}$． 备注3