题目 对于数列 $A_n:a_1,a_2,\cdots,a_n(a_i\in\mathbb N,i=1,2,\cdots,n)$，定义“$T$ 变换”：$T$ 将数列 $A_n$ 变换成数列 $B_n:b_1,b_2,\cdots,b_n$，其中 $b_i=|a_i-a_{i+1}|(i=1,2,\cdots,n-1)$，且 $b_n=|a_n-a_1|$，这种“$T$ 变换”记作 $B_n=T(A_n)$．继续对数列 $B_n$ 进行“$T$ 变换”，得到数列 $C_n$，$\cdots$，依次类推，当得到的数列各项均为 $0$ 时，变换结束． 问题1 试问：$A_3:2,6,4$ 经过不断的“$T$ 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“$T$ 变换”得到的各数列；若不能，说明理由； 答案1 略 解析1 由题\[\begin{split}2,6,4&\to4,2,2 \\ &\to2,0,2 \\ &\to2,2,0 \\ &\to0,2,2 \\ &\to2,0,2 \\ &\to\cdots\end{split}\]所以 $A_3$ 不能经过若干次“$T$ 变换”结束． 备注1 问题2 设 $A_3:a_1,a_2,a_3$，$B_3=T(A_3)$，若 $B_3:b,2,a(a\geqslant b)$，且 $B_3$ 的各项之和为 $2012$．<br/>① 求 $a,b$；<br/>② 若数列 $B$ 再经过 $k$ 次“$T$ 变换”得到的数列各项之和最小，求 $k$ 的最小值，并说明理由； 答案2 ① $a=1006$，$b=1004$；② $502$ 解析2 ① 由题意得，$$\begin{cases}|a_1-a_2|=a,\\|a_2-a_3|=2,\\|a_3-a_1|=b,\end{cases}$$所以 $|a-b|\leqslant 2$，又因为$$a+b=2012,$$所以 $a=1006$，$b=1004$；<br/>② 当 $x\geqslant12$ 时，有\[\begin{split}x,2,x+2 &\to x-2,x,2 \\ &\to2,x-2,x-4 \\ &\to x-4,2,x-6 \\ &\to x-6,x-8,x-10,x-8 \\ &\to x-12,2,x-10,\end{split}\]也就是说数列 $x,2,x+2$ 经过 $6$ 次 $T$ 变换变为 $x-12,2,x-10$，于是数列 $1004,2,1006$ 经过 $6\cdot83$ 次 $T$ 变换后变为 $8,2,10$，而\[\begin{split}8,2,10 &\to 6,8,2 \\ &\to 2,6,4 \\ &\to 4,2,2 \\ &\to 2,0,2 \\ &\to 2,2,0 \\ &\to 0,2,2 \\ &\to,2,0,2 \\ &\to\cdots\end{split}\]进入循环．于是 $B$ 经过 $6\cdot 83+4=502$ 次 $T$ 变换后的得到数列各项之和最小，$k$ 的最小值为 $502$． 备注2