题目 已知各项均为非负正数的数列 $A_0:a_0,a_1,\cdots,a_n(n\in\mathbb N^*)$ 满足 $a_0=0,a_1+a_2+\cdots+a_n=n$．若存在最小的正整数 $k$，使得 $a_k=k(k\geqslant1)$，则可定义变换 $T$，变换 $T$ 将数列 $A_0$ 变为数列 $T(A_0):a_0+1,a_1+1,\cdots,a_{k-1}+1,0,a_{k+1},\cdots,a_n$．设 $A_{i+1}=T(A_i),i=0,1,2,\cdots$． 问题1 若数列 $A_0:0,1,1,3,0,0$，试写出数列 $A_5$；若数列 $A_4:4,0,0,0,0$，试写出 $A_0$； 答案1 $A_5:5,0,0,0,0,0$；$A_0:0,0,1,3,0$ 解析1 根据题意可知\[\begin{split}&A_0:0,1,1,3,0,0\\&A_1:1,0,1,3,0,0\\&A_2:2,1,2,0,0,0\\&A_3:3,0,2,0,0,0\\&A_4:4,1,0,0,0,0\\&A_5:5,0,0,0,0,0\end{split}\]同时，有\[\begin{split}&A_4:4,0,0,0,0\\&A_3:3,1,0,0,0\\&A_2:2,0,2,0,0\\&A_1:1,1,2,0,0\\&A_0:0,0,1,3,0\end{split}\] 备注1 问题2 证明存在唯一的数列 $A_0$，经过有限次 $T$ 变换，可将数列 $A_0$ 变成数列 $n,0,0,\cdots,0$； 答案2 略 解析2 记数列 $I:n,0,0,\cdots,0$，$T^k(A_0)$ 表示对 $A_0$ 进行 $k$ 次 $T$ 变换．<br/>则不妨设 $T^m(A_0)=A_m=I$，则\[\begin{split}&T^{-1}(I):n-1,1,0,0,0,\cdots,0\\&T^{-2}(I):n-2,0,2,0,0,\cdots,0\\&T^{-3}(I):n-3,1,0,2,0,\cdots,0\\&T^{-4}(I):n-4,0,2,2,0,\cdots,0\\&\cdots\end{split}\]变换 $T^{-1}$ 的规则是若存在最小的正整数 $k$，使得 $a_k=0(k\geqslant1)$，则将数列变为$$a_0-1,a_1-1,\cdots,a_{k-1}-1,a_k,0,0,\cdots,0,$$这个变换进行 $n$ 次（每次变换的结果都是唯一的）得到 $A_0$，于是 $A_0$ 是唯一可以经过 $n$ 次 $T$ 变换后得到 $I$ 的数列，原命题得证． 备注2 问题3 若数列 $A_0$ 经过有限次 $T$ 变换，可变为数列 $n,0,0,\cdots,0$，设 $S_m=a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{n}$，$m=1,2,\cdots,n$，求证：$a_m=S_m-\left[\dfrac{S_m}{m+1}\right](m+1)$，其中 $\left[\dfrac{S_m}{m+1}\right]$ 表示不超过 $\dfrac{S_m}{m+1}$ 的最大整数． 答案3 略 解析3 由定义，显然 $S_m$ 为 $m$ 的整数倍，且 $0\leqslant a_m\leqslant m$．因为$$a_m=S_m-S_{m+1},$$所以 $a_m$ 为 $S_m$ 除以 $m+1$ 后的余数，即$$a_m=S_m-\left[\dfrac{S_m}{m+1}\right](m+1).$$ 备注3