若对于正整数 $k$，$g(k)$ 表示 $k$ 的最大奇数因数，例如 $g(3)=3,g(10)=5$．设 $S(n)=g(1)+g(2)+g(3)+\cdots+g(2^n)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $g(6),g(20)$ 的值；标注答案$g(6)=3,g(20)=5$解析$g(6)=3,g(20)=5$．
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求 $S_1,S_2,S_3$ 的值；标注答案$S_1=2,S_2=6,S_3=22$解析由题可知\[\begin{split}&S_1=g(1)+g(2)=2,\\&S_2=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=1+1+3+1=6,\\&S_3=g(1)+g(2)+\cdots+g(8)=1+1+3+1+5+3+7+1=22.\end{split}\]
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求数列 $\{S_n\}$ 的通项公式．标注答案$S_n=\dfrac{2^{2n}+2}{3}=\dfrac13(4^n+2),n\in\mathbb N^*$解析考虑到 $g(2k)=g(k)$，于是\[\begin{split}S_n&=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+\cdots+g(2^n)\\&=[g(1)+g(3)+\cdots+g(2^n-1)]+[g(2)+g(4)+\cdots+g(2^n)]\\&=(1+3+5+\cdots+2^n-1)+S_{n-1},\end{split}\]于是$$S_n-S_{n-1}=2^{2n-2},$$而 $S_1=2$，所以$$S_n=\dfrac{2^{2n}+2}{3}=\dfrac13(4^n+2),n\in\mathbb N^*.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
