题目 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_n=2^n-1$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=2,b_{n+1}-2b_n=8a_n$． 问题1 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=2^{n-1},n\in\mathbb N^*$ 解析1 当 $n=1$ 时，$$a_1=S_1=1.$$当 $n\geqslant 2$ 时，$$a_n=S_n-S_{n-1}2^{n-1}.$$经检验知，$n=1$ 时满足上式，所以$$a_n=2^{n-1},n\in\mathbb N^*.$$ 备注1 问题2 证明：数列 $\left\{\dfrac{b_n}{2^n}\right\}$ 为等差数列，并求 $\{b_n\}$ 的通项公式； 答案2 $b_n=2^n(2n-1),n\in\mathbb N^*$ 解析2 由题意知$$b_{n+1}-2b_n=2^{n+2},$$所以$$\dfrac{b_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{b_n}{2^n}=2,$$于是 $\left\{\dfrac{b_n}{2^n}\right\}$ 是公差为 $2$ 的等差数列．<br/>而 $\dfrac{b_1}{2^1}=1$，所以$$\dfrac{b_n}{2^n}=2n-1,$$即$$b_n=2^n(2n-1),n\in\mathbb N^*.$$ 备注2 问题3 设数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，是否存在常数 $\lambda$，使得不等式 $(-1)^n\lambda<1+\dfrac{T_n-6}{T_{n+1}-6}(n\in\mathbb N^*)$ 恒成立，若存在，求出 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案3 存在，$\lambda$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac12,\dfrac76\right)$ 解析3 因为$$\begin{split}T_n&=1\cdot2^1+3\cdot2^2+\cdots+(2n-1)\cdot2^n\\ &=(2n-3)2^{n+1}+6,\end{split}$$所以 $(-1)\lambda<1+\dfrac{T_n-6}{T_{n+1}-6}$ 等价于$$(-1)^n\lambda<1+\dfrac{2n-3}{4n-2},$$等价于$$(-1)^n\lambda<\dfrac{6n-5}{4n-2},$$当 $n=1$ 时，$\lambda>-\dfrac12$；<br/>当 $n=2$ 时，$\lambda<\dfrac76$，所以$$-\dfrac12<\lambda<\dfrac76.$$下面证明 $\lambda\in\left(-\dfrac12,\dfrac76\right)$ 的充分性，此时 $-\lambda\in\left(-\dfrac76,\dfrac12\right)$．<br/>当 $n$ 为奇数时，$$\dfrac{6n-5}{4n-2}=\dfrac32-\dfrac{1}{2n-1}\geqslant\dfrac12>(-1)^n\lambda;$$当 $n$ 为偶数时，$$\dfrac{6n-5}{4n-2}=\dfrac32-\dfrac{1}{2n-1}\geqslant\dfrac76>(-1)^n\lambda.$$综上，$\lambda$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac12,\dfrac76\right)$． 备注3