已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2,a_2=3$，其前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_{n+1}+S_{n-1}=2S_n+1(n\geqslant2,n\in\mathbb N^*)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=n+1$解析$S_{n+1}+S_{n-1}=2S_n+1$ 等价于$$S_{n+1}-S_n-(S_n-S_{n-1})=1,$$即$$a_{n+1}-a_n=1,$$所以数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $2$，公差为 $1$ 的等差数列，故 $a_n=n+1$．
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设 $b_n=4^n+(-1)^{n-1}\lambda\cdot2^{a_n}$，其中 $\lambda$ 为非零整数，$n\in\mathbb N^*$，试确定 $\lambda$ 的值，使得对任意 $n\in\mathbb N^*$，都有 $b_{n+1}>b_n$ 成立．标注答案$\lambda=-1$解析因为$$b_n=4^n+(-1)^{n-1}\lambda\cdot2^{n+1},$$所以$$b_{n+1}-b_n=3\cdot4^n+(-1)^n\lambda\cdot(2^{n+2}+2^{n+1})>0,$$于是$$(-1)^n\lambda>-\dfrac{3\cdot4^n}{2^{n+2}+2^{n+1}}=-2^{n-1},$$分别取 $n=1$ 和 $n=2$，得到$$-2<\lambda<1.$$下面证明 $-2<\lambda<1$ 的充分性．
当 $n$ 为奇数时，$$\lambda<1\leqslant2^{n-1},$$所以 $(-1)^n\lambda>-2^{n-1}$；
当 $n$ 为偶数时，$$\lambda>-2\geqslant-2^{n-1},$$所以 $(-1)^n\lambda>-2^{n-1}$．
因为 $\lambda\in\mathbb Z^*$，所以 $\lambda=-1$．
综上，当 $\lambda=-1$ 时，符合题意．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
