题目 已知数列 ${A_n}:{a_1},{a_2}, \cdots {a_n}$ $\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \geqslant 2} \right)$ 满足 ${a_1} = {a_n} = 0$，且当 $2 \leqslant k \leqslant n$ $\left( {k \in {\mathbb{N}}^*} \right)$ 时，${\left( {{a_k} - {a_{k - 1}}} \right)^2} = 1$，令 $\displaystyle S\left( {A_n} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {a_i} $． 问题1 写出 $S\left( {A_5} \right)$ 的所有可能的值； 答案1 $S(A_5)$ 的所有可能值为 $4,2,0,-2,-4$ 解析1 因为 $a_1=a_5=0$，所以$$a_2=\pm1,a_4=\pm1.$$<case>情形一</case> 若 $a_2=a_4=1$，则 $a_3=0$ 或 $a_3=2$，此时 $S(A_5)=2\lor 4$；<br/><case>情形二</case> 若 $a_2=1,a_4=-1$ 或 $a_2=-1,a_4=1$，则 $a_3=0$，此时 $S(A_5)=0$；<br/><case>情形三</case> 若 $a_2=a_4=-1$，则 $a_3=0$ 或 $a_3=-2$，此时 $S(A_5)=-2\lor-4$．<br/>综上，$S(A_5)$ 的所有可能值为 $4,2,0,-2,-4$． 备注1 问题2 求 $S\left( {A_n} \right)$ 的最大值； 答案2 $\dfrac{(n-1)^2}{4}$ 解析2 显然 $n$ 为奇数（$n$ 为偶数时不满足 $a_1=a_n=0$），考虑 $A_n$ 的差分数列$$\Delta A_n:a_2-a_1,a_3-a_2,\cdots,a_n-a_{n-1},$$其每项均为 $1$ 或 $-1$，且 $1$ 与 $-1$ 的数目均为 $\dfrac{n-1}{2}$．<br/>若 $\Delta A_n$ 中出现相邻的两项 $-1,1$，即$$a_i-a_{i-1}=-1,a_{i+1}-a_i=1,$$则可以将 $a_i$ 调整为 $a_i+2$，此时数列其他各项均不变，且新的 $\Delta A_n$ 中对应的两项为 $1,-1$．<br/>经过有限次调整后，$\Delta A_n$ 将变为$$1,1,\cdots,1,-1,-1,\cdots,-1,$$此时 $S(A_n)$ 最大为$$1+2+\cdots+\dfrac{n-3}{2}+\dfrac{n-1}{2}+\dfrac{n-3}{2}+\cdots+2+1=\dfrac{(n-1)^2}{4},$$ 备注2 问题3 是否存在数列 ${A_n}$，使得 $S\left( {A_n} \right) = \dfrac{{{{\left( {n - 3} \right)}^2}}}{4}$？若存在，求出数列 ${A_n}$；若不存在，说明理由． 答案3 不存在 解析3 由于$$\dfrac{(n-1)^2}{4}-\dfrac{(n-3)^2}{4}=n-2$$为奇数，而每次调整 $S(A_n)$ 的变化均为偶数，矛盾．<br/>于是不存在数列 $A_n$，使得 $S(A_n)=\dfrac{(n-3)^2}{4}$． 备注3