题目 已知点集 $L=\{(x,y)\mid y=m\cdot n\}$，其中 $m=(2x-b,1)$，$n=(1,b+1)$，点列 $P_n(a_n,b_n)$ 在 $L$ 中，$P_1$ 为 $L$ 与 $y$ 轴的交点，等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $1$，$n\in\mathbb N^*$． 问题1 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式； 答案1 $b_n=2n-1$ 解析1 由题意得，$$L=\{(x,y)\mid y=2x+1\},$$所以 $P_1(0,1)$，于是$$a_n=n-1,$$因此$$b_n=2a_n+1=2n-1.$$ 备注1 问题2 若 $f(n)=\begin{cases}a_n,n=1,3,5\\b_n,n=2,4,6\end{cases}$，令 $S_n=f(1)+f(2)+\cdots+f(n)$；试用解析式写出 $S_n$ 关于 $n$ 的函数； 答案2 $S_n=\begin{cases}\dfrac34n^2,n=2k\\ \dfrac{3n^2-2n-1}{4},n=2k-1\end{cases},k\in\mathbb N^*$ 解析2 因为$$b_n=\begin{cases}n-1,n=2k-1,\\2n-1,n=2k,k\in\mathbb N^*\end{cases}$$所以当 $n=2k$ 时，$S_n=\dfrac34n^2$；<br/>当 $n=2k-1$ 时，$S_n=\dfrac{3n^2-2n-1}{4}$，其中 $k\in\mathbb N^*$． 备注2 问题3 若 $f(n)=\begin{cases}a_n,& 2 \nmid n,\\b_n, & 2\mid n,\end{cases}$ 给定常数 $m(m\in\mathbb N^*,m\geqslant2)$，是否存在 $k\in\mathbb N^*$，使得 $f(k+m)=2f(m)$，若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，请说明理由． 答案3 当 $m$ 为奇数时，$k=m-1$；当 $m$ 为偶数时，$k=3m-1$ 解析3 假设存在 $k\in\mathbb N^*$，使得 $f(k+m)=2f(m)$，则<br/><case>情形一</case> 当 $k$ 为奇数，$m$ 为奇数时，有 $b_{m+k}=2a_m$，即$$2(m+k)-1=2(m-1),$$解得 $k=-\dfrac12$，不合题意；<br/><case>情形二</case>当 $k$ 为偶数，$m$ 为奇数时，有 $a_{m+k}=2a_m$，即$$m+k-1=2(m-1),$$解得 $k=m-1$；<br/><case>情形三</case>当 $k$ 为奇数，$m$ 为偶数时，有 $a_{m+k}=2b_m$，即$$m+k-1=2(2m-1),$$解得 $k=3m-1$；<br/><case>情形四</case>当 $k$ 为偶数，$m$ 为偶数时，有 $b_{m+k}=2b_m$，即$$2(m+k)-1=3(2m-1),$$解得 $k=2m-1$，为奇数，矛盾．<br/>综上，当 $m$ 为奇数时，$k=m-1$；当 $m$ 为偶数时，$k=3m-1$． 备注3