题目 定义：对于任意 $n\in\mathbb N^*$，满足条件 $\dfrac{a_n+a_{n+2}}{2}\leqslant a_{n+1}$ 且 $a_n\leqslant M$（其中 $M$ 是与 $n$ 无关的常数）的无穷数列 $\{a_n\}$ 称为 $T$ 数列． 问题1 若 $a_n=-n^2+9n(n\in\mathbb N^*)$，证明：数列 $\{a_n\}$ 是 $T$ 数列； 答案1 略 解析1 由 $a_n=-n^2+9n$，得$$a_n+a_{n+2}-2a_{n+1}=-2,$$所以数列 $\{a_n\}$ 满足$$\dfrac{a_n+a_{n+2}}{2}\leqslant a_{n+1}.$$又$$a_n=-\left(n-\dfrac92\right)^2+\dfrac{81}{4},$$当 $n=4\lor 5$ 时，$a_n$ 取得最大值 $20$，即 $a_n\leqslant20$．<br/>综上，数列 $\{a_n\}$ 是 $T$ 数列． 备注1 问题2 设数列 $\{b_n\}$ 的通项为 $b_n=50n-\left(\dfrac32\right)^n$，且数列 $\{b_n\}$ 是 $T$ 数列，求常数 $M$ 的取值范围； 答案2 $\left[600-\left(\dfrac32\right)^{12},+\infty\right)$ 解析2 因为$$\Delta b_n=b_{n+1}-b_n=50-\dfrac12\left(\dfrac13\right)^n,$$所以当 $50-\dfrac12\left(\dfrac32\right)^n\geqslant0$，即 $n\leqslant11$ 时，$\Delta b_n>0$ 时，此时数列 $\{b_n\}$ 单调递增；<br/>当 $50-\dfrac12\left(\dfrac32\right)^n<0$，即 $n\geqslant12$ 时，$\Delta b_n<0$，此时数列 $\{b_n\}$ 单调递减．<br/>因为 $b_{12}>b_{11}$，所以数列 $\{b_n\}$ 的最大项为 $b_{12}$．由于$$b_{12}=600-\left(\dfrac32\right)^{12},$$所以 $M$ 的取值范围是 $M\geqslant600-\left(\dfrac32\right)^{12}$． 备注2 问题3 设数列 $c_n=\left|\dfrac{p}{n}-1\right|(n\in\mathbb N^*,p>1)$，问数列 $\{c_n\}$ 是否是 $T$ 数列？请说明理由． 答案3 当 $1<p\leqslant\dfrac65$ 时，数列 $\{c_n\}$ 是 $T$ 数列；当 $p>\dfrac65$ 时，数列 $\{c_n\}$ 不是 $T$ 数列 解析3 <case>情形一</case> $1<p\leqslant2$．<br/>当 $n=1$ 时，$$c_1=p-1,c_1=1-\dfrac{p}{2},c_3=1-\dfrac{p}{3}.$$由$$c_1+c_3-2c_2=\dfrac{5p}{3}-2\leqslant0,$$得 $p\leqslant\dfrac65$．<br/>下面验证当 $1<p\leqslant\dfrac65$ 时符合条件．<br/>若 $n\geqslant2$，则 $\dfrac{p}{n}\leqslant1$，此时 $c_n=1-\dfrac{p}{n}$，于是$$\begin{split}c_n+c_{n+2}-2c_{n+1}&=\left(1-\dfrac{p}{n}\right)+\left(1-\dfrac{p}{n+2}\right)-2\left(1-\dfrac{p}{n+1}\right)\\ &=-\dfrac{2p}{n(n+1)(n+2)}<0,\end{split}$$又对于 $n\in\mathbb N^*$ 有$$c_n=\left|\dfrac{p}{n}-1\right|<1,$$所以当 $1<p\leqslant\dfrac65$ 时，数列 $\{c_n\}$ 是 $T$ 数列；<br/><case>情形二</case> $2<p\leqslant3$．<br/>取 $n=1$，则$$c_1=p-1,c_2=\dfrac{p}{2}-1,c_3=1-\dfrac{p}{3},$$由于$$c_1+c_3-2c_2=3-\dfrac{p}{2}>0,$$所以此时数列 $\{c_n\}$ 不是 $T$ 数列．<br/><case>情形三</case> $p>3$．<br/>取 $n=1$，则$$c_1=p-1,c_2=\dfrac{p}{2}-1,c_2=\dfrac{p}{3}-1,$$由$$c_1+c_3-2c_2=\dfrac{5p}{6}>0,$$所以 $p>3$ 时，数列 $\{c_n\}$ 不是 $T$ 数列．<br/>综上，当 $1<p\leqslant\dfrac65$ 时，数列 $\{c_n\}$ 是 $T$ 数列；当 $p>\dfrac65$ 时，数列 $\{c_n\}$ 不是 $T$ 数列． 备注3