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函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,1)$，对应法则为$$f(x)=\begin{cases}x,x\not\in\mathbb Q,\\\dfrac{p+1}{q},x=\dfrac{p}{q},p,q\in\mathbb Z^+,(p,q)=1,p<q,\end{cases}$$求 $f(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{k-1}{k},\dfrac{k}{k+1}\right)$ 上的最大值，其中 $k\in\mathbb Z^+$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 方法
    >
    代数处理
    >
    冻结变量法
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的最值和值域
【答案】
$\dfrac{2k}{2k+1}$
【解析】
情形一当 $x$ 是无理数时，$f(x)<\dfrac{k}{k+1}$；
情形二当 $x$ 是有理数时，设$$x=\dfrac{p}{q},\dfrac{k-1}{k}<\dfrac{p}{q}<\dfrac{k}{k+1},$$所以$$pk-q(k-1)>0,qk-p(k+1)>0,$$即$$pk-q(k-1)\geqslant1,qk-p(k+1)\geqslant1,$$两式相加，于是$$q-p\geqslant2,p\leqslant q-2,$$所以$$f(x)=\dfrac{p+1}{q}\leqslant\dfrac{q-1}{p},$$当且仅当时 $p=q-2$ 取等号．
当 $p=q-2$ 时，$$\dfrac{k-1}{k}<\dfrac{q-2}{q}<\dfrac{k}{k+1},$$整理得$$q=2k+1,$$于是$$f(x)\leqslant\dfrac{2k}{2k+1},$$当且仅当 $p=2k-1,q=2k+1$ 时取得等号．
综合以上情形，由于当 $k\geqslant1$ 时，$$\dfrac{2k}{k+1}>\dfrac{k}{k+1},$$因此 $f(x)$ 在区间 $\left(\dfrac{k-1}{k},\dfrac{k}{k+1}\right)$ 上的最大值为 $\dfrac{2k}{2k+1}$，此时 $x=\dfrac{2k-1}{2k+1}$．
答案 解析 备注
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