求不定方程 $2^n+1=a^b$ 的所有正整数解．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$n=k,a=2^k+1,b=1,$ 其中 $k\in\mathbb N^*$ 或 $n=3,a=3,b=2$
【解析】
因为$$2^n=a^b-1=(a-1)(a^{b-1}+a^{b-2}+\cdots+1),$$所以 $a-1=2^m$，其中 $m\leqslant n$ 且 $m$ 为正整数．
设 $a=1+2^m$，则$$2^n=(1+2^m)^b-1=b\cdot 2^m+\cdots+(2^m)^b,$$由于 $b\geqslant1$，右边至少有 $1$ 项，所以$$2^{n-m}=b+\cdots+(2^m)^{b-1}.$$情形一 若 $b=1$，则$$2^{n-m}=b=1,$$于是 $m=n$ 即可．
因此 $n=k,a=2^k+1,b=1,$ 其中 $k\in\mathbb N^*$，为该不定方程的正整数解．
情形二 若 $b\geqslant2$，则 $b$ 一定为偶数，设 $b=2k,k\in\mathbb Z^+$，于是$$2^n=a^{2k}-1=(a^k+1)(a^k-1),$$所以$$a_k+1=2^{n_1},a_k-1=2^{n_2},$$其中 $n_1,n_2\in\mathbb Z^+$ 且$$n_1+n_2=n.$$两式相减得$$2=2^{n_1}-2^{n_2},$$所以此不定方程只有惟一正整数解为 $n_1=2,n_2=1$，此时 $n=3,a=3,b=2$．
设 $a=1+2^m$，则$$2^n=(1+2^m)^b-1=b\cdot 2^m+\cdots+(2^m)^b,$$由于 $b\geqslant1$，右边至少有 $1$ 项，所以$$2^{n-m}=b+\cdots+(2^m)^{b-1}.$$
因此 $n=k,a=2^k+1,b=1,$ 其中 $k\in\mathbb N^*$，为该不定方程的正整数解．
答案
解析
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