题目 对任何函数 $f(x),x\in D$，初始值 $x_0\in D$，定义数列 $\{x_n\}$ 如下：<br/>① $x_1=f(x_0)$；<br/>② 若 $x_n\in D$，则 $x_{n+1}=f(x_n)$；若 $x_n\not\in D$，则结束．<br/>现定义 $f(x)=\dfrac{4x-2}{x+1}$，则 问题1 若初始值 $x_0=\dfrac{49}{65}$，写出数列 $\{x_n\}$ 中的所有项； 答案1 $\dfrac{11}{19},\dfrac15,-1$ 解析1 根据递推公式依次求解得\[x_0=\dfrac {49}{65},x_1=\dfrac{11}{19},x_2=\dfrac15,x_3=-1.\] 备注1 问题2 若数列 $\{x_n\}$ 为无穷常数列，求初始值 $x_0$； 答案2 $x_0=1,2$ 解析2 由题意得$$x=\dfrac {4x-2}{x+1},$$解得 $x=1$ 或 $x=2$．<br/>因此初始值 $x_0=1$ 或 $x_0=2$． 备注2 问题3 若数列 $\{x_n\}$ 为单调递增数列，求初始值 $x_0$ 的取值范围． 答案3 $(1,2)$ 解析3 解不等式$$f(x)=\dfrac{4x-2}{x+1}>x,$$得 $x<-1$ 或 $1<x<2$．<br/><case>情形一</case> 若 $x_0<-1$，则 $f(x_0)>1$，于是 $x_2<x_1$，不符合题意；<br/><case>情形二</case> 若 $1<x_0<2$，则 $1<f(x_0)<2$，依次类推．<br/>因此，对任意 $n$，当 $1<x_0<2$ 时，$\{x_n\}$ 为单调递增数列． 备注3