题目 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=a,a_{n+1}=\dfrac{5a_n-6}{a_n}$，其中 $n\in\mathbb N^*$． 问题1 若对于 $n\in\mathbb N^*$，均有 $a_{n+1}=a_n$ 成立，求 $a$ 的值； 答案1 $2,3$ 解析1 由题意得，$$a=\dfrac{5a-6}{a},$$解得 $a=2$ 或 $a=3$．<br/>经验证，$a$ 取 $2$ 或 $3$ 时，对于 $n\in\mathbb N^*$，均有 $a_{n+1}=a_n$ 成立，所以 $a$ 的值为 $2,3$． 备注1 问题2 若对于 $n\in\mathbb N^*$，均有 $a_{n+1}>a_n$ 成立，求 $a$ 的取值范围； 答案2 $(2,3)$ 解析2 令$$\dfrac{5a-6}{a}>a,$$所以 $2<a<3$ 或 $a<0$．<br/>当 $x\in(2,3)$ 时，$\dfrac{5x-6}{x}\in(2,3)$．<br/>因此，当 $a\in(2,3)$ 时，对于 $n\in\mathbb N^*$，均有 $a_{n+1}>a_n$ 成立．<br/>当 $x<0$ 时，$\dfrac{5x-6}{x}>0$，此时不能满足题设条件．<br/>综上，$a$ 的取值范围为 $(2,3)$． 备注2 问题3 请你构造一个无穷数列 $\{b_n\}$，使其满足下列两个条件，并加以证明：<br/>① $b_n<b_{n+1},n\in\mathbb N^*$；<br/>② 当 $a$ 为 $\{b_n\}$ 中的任意一项时，$\{a_n\}$ 中必有某一项的值为 $1$． 答案3 略 解析3 考虑函数 $f(x)=\dfrac{5x-6}{x}$ 的反函数$$f^{-1}(x)=\dfrac{6}{5-x}.$$令$$b_1=f^{-1}(1)=\dfrac32,b_{n+1}=f^{-1}(b_n)=\dfrac{6}{5-b_n}.$$容易证明对任意 $n\in\mathbb N^*$，$$0<b_n<2,$$因此$$\dfrac{6}{5-b_n}>b_n,$$于是 $\{b_n\}$ 单调递增．<br/>当 $a$ 为 $\{b_n\}$ 中的任意一项 $b_i$ 时，因为 $b_1=f^{-1}(1)$，所以 $\{a_n\}$ 中必有 $a_{i+1}=1$．<br/>因此 $b_1=\dfrac32,b_{n+1}=\dfrac{6}{5-b_n}$ 为所求． 备注3