题目 已知数列 $\{a_k\}$ 满足：$a_1=\dfrac12$，且 $a_{k+1}=a_k+\dfrac1n a_k^2$（$k=1,2,\cdots,n-1$），其中 $n$ 是一个给定的正整数． 问题1 证明：数列 $\{a_k\}$ 是一个单调数列； 答案1 略 解析1 因为$$\Delta a_k=a_{k+1}=a_k=\dfrac{1}{n}a_k^2>0,$$所以数列 $\{a_k\}$ 是一个单调递增数列． 备注1 问题2 证明：对于一切 $1<m<n,m\in\mathbb N^*$，有 $\dfrac{n+1}{2n-m+3}<a_m<\dfrac{n}{2n-m+1}$． 答案2 略 解析2 用数学归纳法：<br/><case>归纳基础</case>当 $m=2$ 时，$$a_2=a_1+\dfrac1na_1^2=\dfrac12+\dfrac{1}{4n},$$左边为 $\dfrac12+\dfrac{1}{4n+2}$，右边为 $\dfrac12+\dfrac{1}{4n-2}$，所以命题成立．<br/><case>归纳假设</case>设当 $m=p(p\geqslant2)$ 时命题成立，即$$\dfrac{n+1}{2n-p+3}<a_p<\dfrac{n}{2n-p+1}.$$当 $m=p+1(p+1<n)$ 时，$$a_m=a_{p+1}=a_p+\dfrac1na_p^2.$$考虑函数 $f(x)=\dfrac1nx^2+x$，其对称轴为 $x=-\dfrac{n}{2}$，所以当 $x>0$ 时，函数递增．<br/>因此当 $\dfrac{n+1}{2n-p+3}<a_p<\dfrac{n}{2n-p+1}$ 时，$$f\left(\dfrac{n+1}{2n-p+3}\right)<a_{p+1}=f(a_p)<f\left(\dfrac{n}{2n-p+1}\right),$$于是我们只需要证明左边$$\dfrac{n+1}{2n-p+2}<\dfrac1n\left(\dfrac{n+1}{2n-p+3}\right)^2+\dfrac{n+1}{2n-p+3}\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$以及右边$$\dfrac{n}{2n-p}>\dfrac1n\left(\dfrac{n}{2n-p+1}\right)^2+\dfrac{n}{2n-p+1}\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$可以用分析法证明 ①②，证明过程略． 备注2