题目 已知数列 $\{a_k\}$ 满足：$a_1=\dfrac12$，且 $a_{k+1}=a_k+\dfrac1n a_k^2$（$k=1,2,\cdots,n-1$），其中 $n$ 是一个给定的正整数． 问题1 证明：数列 $\{a_k\}$ 是一个单调数列； 答案1 略 解析1 因为$$\Delta a_k=a_{k+1}=a_k=\dfrac{1}{n}a_k^2>0,$$所以数列 $\{a_k\}$ 是一个单调递增数列． 备注1 问题2 证明：对于一切 $1<m<n,m\in\mathbb N^*$，有 $\dfrac{n+1}{2n-m+3}<a_m<\dfrac{n}{2n-m+1}$． 答案2 略 解析2 要证 $\dfrac{n+1}{2n-m+3}<a_m<\dfrac{n}{2n-m+1}$，只需证$$\dfrac{m-1}{n+1}<2-\dfrac{1}{a_m}<\dfrac{m-1}{n},$$设 $b_m=2-\dfrac{1}{a_m}$，只需要证明$$\dfrac{m-1}{n+1}<b_m<\dfrac{m-1}{n}.$$因为$$\Delta b_m=b_{m+1}-b_m=\dfrac{1}{n+a_m}<\dfrac1n,$$所以$$b_m=b_1+\sum\limits_{1}^{m-1}{\Delta b_m}<\dfrac{m-1}{n},$$而 $m-1<n$，于是 $b_m<1$，因此 $2-\dfrac{1}{a_m}<1$，得到$$0<a_m<1,$$于是$$\Delta b_m=\dfrac{1}{n+a_n}>\dfrac{1}{n+1},$$所以$$b_m=b_1+\sum\limits_{1}^{m-1}{\Delta b_m}>\dfrac{m-1}{n+1},$$因此原命题得证． 备注2