题目 已知数列 $\{a_n\}$ 的前项和为 $S_n$，$a=1$，数列 $\{a_n+S_n\}$ 是公差为 $2$ 的等差数列． 问题1 求 $a_2,a_3$； 答案1 $a_2=\dfrac32,a_3=\dfrac74$ 解析1 因为 $a_1=1$，所以 $a_1+S_1=2$，于是$$a_n+S_n=2n,$$故 $a_2=\dfrac32,a_3=\dfrac74$． 备注1 问题2 证明数列 $\{a_n-2\}$ 为等比数列； 答案2 略 解析2 由题有$$a_{n+1}+S_{n+1}=2n+2,a_n+S_n=2n,$$所以$$2a_{n+1}=a_n+2,$$因此$$a_{n+1}-2=\dfrac12(a_n-2),$$于是数列 $\{a_n-2\}$ 为等比数列． 备注2 问题3 求使不等式 $S_n-n+1\geqslant\lambda a_n$ 对任意 $n\in\mathbb N^*$ 成立的 $\lambda$ 的最大值． 答案3 $1$ 解析3 因为 $a_n=2-\left(\dfrac12\right)^{n-1}$，$S_n=2n-\left[2-\left(\dfrac12\right)^{n-1}\right]$，所以不等式即$$n-1+\left(\dfrac12\right)^{n-1}\geqslant\lambda\left[2-\left(\dfrac12\right)^{n-1}\right],$$即$$\lambda\leqslant\dfrac{n-1+(\frac12)^{n-1}}{2-(\frac12)^{n-1}}.$$容易知道上述不等式右边关于 $n$ 单调递减，所以其最小值为 $1$，故 $\lambda$ 的最大值为 $1$． 备注3