题目 设数列 $\{a_n\}$ 是首项为 $4$，公差为 $1$ 的等差数列，$S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_n=n^2+2n$． 问题1 求 $\{a_n\}$ 及 $\{b_n\}$ 的通项公式 $a_n$ 和 $b_n$； 答案1 $a_n=n+3$，$b_n=2n+1$ 解析1 由题意立即得到 $a_n=n+3$．<br/>当 $n=1$ 时，$b_1=S_1=3$；<br/>当 $n\geqslant 2$ 时，$b_n=S_n-S_{n-1}=2n+1$．<br/>在上式中令 $n=1$，得 $b_1=3$ 满足条件，所以 $b_n=2n+1$． 备注1 问题2 若 $f(n)=\begin{cases}a_n,&2\nmid n,\\b_n,& 2\mid n,\end{cases}$ 问是否存在 $k\in\mathbb N^*$ 使 $f(k+27)=4f(k)$ 成立？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由． 答案2 不存在 解析2 若 $k=2m-1,m\in\mathbb N^*$，则 $f(k+27)=4f(k)$ 等价于$$f(2m+26)=4f(2m-1),$$即$$4m+53=4(2m+4),$$解得 $m=\dfrac {37}{4}$，不符合题意；<br/>若 $k=2m,m\in\mathbb N^*$，则 $f(k+27)=4f(k)$ 等价于$$f(2m+27)=4f(2m),$$即$$m+30=4(4m+1),$$解得 $m=\dfrac{26}{15}$，不符合题意．<br/>因此不存在满足题意的 $k$． 备注2 问题3 若对任意的正整数 $n$，不等式$$\dfrac{a\sqrt{n-1+a_{n+1}}}{\left(1+\dfrac{1}{b_1}\right)\left(1+\dfrac{1}{b_2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{b_n}\right)}\leqslant 1$$恒成立，求正数 $a$ 的取值范围． 答案3 $\left(0,\dfrac{4\sqrt5}{15}\right]$ 解析3 分离参变量，题中不等式即$$a\leqslant\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{b_1}\right)\left(1+\dfrac{1}{b_2}\right)\cdots\left(1+\dfrac{1}{b_n}\right)}{\sqrt{n-1+a_{n+1}}}$$设右边为 $x_n$，则$$\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{b_{n+1}}\right)\sqrt{n-1+a_{n+1}}}{\sqrt{n+a_{n+2}}}=\dfrac{(2n+5)\sqrt{2n+3}}{(2n+3)\sqrt{2n+5}}>1,$$所以$$\min\{x_n\}=x_1=\dfrac{4\sqrt5}{15},$$故正数 $a$ 的取值范围为 $\left(0,\dfrac{4\sqrt5}{15}\right]$． 备注3