侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为 $a$，则三棱锥的全面积和体积是多少？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{3+\sqrt3}{4}a^2$，$\dfrac16a^3$
【解析】
此正三棱锥可以当成边长为 $a$ 的正方体的一角，它的侧面是三个全等的等腰直角三角形，斜边长为 $a$，底面是正三角形，边长为 $a$，故它的侧棱长为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$，从而它的全面积$$S=3\cdot\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt2}{2}a\right)^2+\dfrac{\sqrt3}{4}a^2=\dfrac{3+\sqrt3}{4}a^2,$$体积为 $\dfrac16a^3$．
答案
解析
备注
