给定 $n(n\geqslant2)$ 个一元二次方程 $x^2-a_ix+b_i=0,i=1,2,\cdots,n$，其中 $2n$ 个实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n$ 互不相同．试问：是否可能 $a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n$ 中的每个数都是其中某个一元二次方程的根？
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛新疆省预赛
【标注】
【答案】
不可能
【解析】
假设有这样的可能性，那么由于$$a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n,$$这 $2n$ 个实数互不相同，所以它们就构成了 $n$ 个一元二次方程$$x^2-a_ix+b_i=0(i=1,2,\cdots,n)$$的所有的根的集合，其中每个一元二次方程有两个相异实根．
假设 $\alpha_i,\beta_i$ 是一元二次方程 $x^2-a_ix+b_i=0$ 的两个根，由韦达定理知$$a_i=\alpha_i+\beta_i,b_i=\alpha_i\beta_i.$$又因为 $n$ 个一元二次方程的所有根的集合是$$\{a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n\},$$所以就有$$\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}=\sum\limits_{i=1}^{n}{(a_i+\beta_i)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{(a_i+b_i)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}+\sum\limits_{i=1}^{n}{b_i},$$因此 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{b_i}=0$．
另一方面，我们还有$$\alpha_i^2+\beta_i^2=a_i^2-2b_i,i=1,2,\cdots,n,$$从而$$\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i^2+b_i^2}=\sum\limits_{i=1}^{n}{(\alpha_i^2+\beta_i^2)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{(a_i^2-2b_i)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i^2},$$这就表明 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{b_i^2}=0$，所以所有 $b_i$ 全为零，与题设矛盾．
因此，题设条件不可能满足．
假设 $\alpha_i,\beta_i$ 是一元二次方程 $x^2-a_ix+b_i=0$ 的两个根，由韦达定理知$$a_i=\alpha_i+\beta_i,b_i=\alpha_i\beta_i.$$又因为 $n$ 个一元二次方程的所有根的集合是$$\{a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n\},$$所以就有$$\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}=\sum\limits_{i=1}^{n}{(a_i+\beta_i)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{(a_i+b_i)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}+\sum\limits_{i=1}^{n}{b_i},$$因此 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{b_i}=0$．
另一方面，我们还有$$\alpha_i^2+\beta_i^2=a_i^2-2b_i,i=1,2,\cdots,n,$$从而$$\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i^2+b_i^2}=\sum\limits_{i=1}^{n}{(\alpha_i^2+\beta_i^2)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{(a_i^2-2b_i)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i^2},$$这就表明 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}{b_i^2}=0$，所以所有 $b_i$ 全为零，与题设矛盾．
因此，题设条件不可能满足．
答案
解析
备注
