设 $0\leqslant x,y\leqslant1$，证明：$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}$．
【难度】
【出处】
2012年全国高中数学联赛新疆省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
将所要证明的不等式两边平方，得$$\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}+\dfrac{1}{1+y^2}\leqslant\dfrac{4}{1+xy},$$我们先来证明：$$\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\leqslant\dfrac{2}{1+xy}\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$直接做差，通分整理得$$\dfrac{2}{1+xy}-\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+y^2}=\dfrac{(x-y)^2(1-xy)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)}\geqslant0,$$所以 $\text{ ① }$ 成立．
由均值不等式，有$$\dfrac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leqslant\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2},$$所以$$\dfrac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leqslant\dfrac{2}{1+xy}\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$由 $\text{ ①② }$，可知$$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}.$$
由均值不等式，有$$\dfrac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leqslant\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2},$$所以$$\dfrac{2}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}}\leqslant\dfrac{2}{1+xy}\qquad\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$由 $\text{ ①② }$，可知$$\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\leqslant\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}.$$
答案
解析
备注
