• 题型

  >

  代几综合

  >

  函数与面积

抛物线 $C_1:y=\dfrac 13x^2-3(-3\leqslant x \leqslant 3)$，
抛物线 $C_2:y=-\dfrac 19x^2+1(-3\leqslant x \leqslant 3)$

由于抛物线 $C_1$、$C_2$ 都过点 $A\left(-3,0\right)$、$B\left(3,0\right)$，
设抛物线的解析式分别为 $y=a\left(x-3\right)\left(x+3\right),y=b\left(x-3\right)\left(x+3\right)$．
所以 $a=\dfrac 13,b=-\dfrac 19$．
则抛物线 $C_1:y=\dfrac 13x^2-3(-3\leqslant x \leqslant 3)$，
抛物线 $C_2:y=-\dfrac 19x^2+1(-3\leqslant x \leqslant 3)$．

• 题型

  >

  代几综合

  >

  函数与面积

存在，$Q$ 点为 $\left(-\dfrac 32,\dfrac 34\right)$．
$\triangle EBQ$ 的最大面积是 $S_{max}=\dfrac{45}{8}$

存在，点 $Q$ 的坐标为 $\left(-\dfrac 32,\dfrac 34\right)$，最大面积是 $\dfrac{45}{8}$．
【方法一：等积变换法】因为 $E\left(-2,-\dfrac 53\right)$，
如图，作直线 $l\parallel $ 直线 $BE$，设直线 $l$：$y=\dfrac 13x+b$．
① 当直线 $l$ 与抛物线 $C_1$ 只有一个交点时：
$\dfrac 13x+b=\dfrac 13x^2-3$，即 $x^2-x-\left(3b+9\right)=0$．
因为 $\Delta=0$，所以 $b=-\dfrac{37}{12}$，
直线 $Q_1M$：$y=\dfrac 13x-\dfrac{37}{12}$，
所以 $M\left(\dfrac{37}{4},0\right),$ $Q_1\left(\dfrac 12,-\dfrac{35}{12}\right)$．
$S_{\triangle EQ_1B}=S_{\triangle EBM}=\dfrac 12\times BM\times|y_E|=\dfrac{125}{24}$，② 当直线 $l$ 与抛物线 $C_2$ 只有一个交点时：
$\dfrac 13x+b=-\dfrac 19x^2-1$，即 $x^2+3x+9b-9=0$．
因为 $\Delta=0$，所以 $b=\dfrac 54$，
直线 $Q_2N$：$y=\dfrac 13x+\dfrac 54$，
所以 $N\left(-\dfrac{15}{4},0\right),$ $Q_2\left(-\dfrac 32,\dfrac 34\right)$．
$S_{\triangle EQ_2B}=S_{\triangle NBE}=\dfrac 12\times BN\times|y_E|=\dfrac{45}{8}$，
因为 $\dfrac{45}{8}>\dfrac{125}{24}$，
所以符合条件的 $Q$ 点为 $\left(-\dfrac 32,\dfrac 34\right)$．
$\triangle EBQ$ 的最大面积是 $S_{max}=\dfrac{45}{8}$．【方法二：割补法】当点 $Q$ 在 $C_1$ 上时，可设 $Q\left(x,\dfrac 13x^2-3\right)$，
过 $Q$ 作 $QM$ 平行 $y$ 轴交 $BE$ 于 $M$，则 $M\left(x,\dfrac 13x-1\right)$，
则 $MQ=\dfrac 13x-1-\left(\dfrac 13x^2-3\right)=-\dfrac 13\left(x-\dfrac 12\right)^2+\dfrac{25}{12}$．
所以 $x=-\dfrac 12$ 时 $MQ$ 最大值为 $\dfrac {25}{12}$．
所以 $S_{\triangle EBQ \text{最大} }=S_{\triangle EQM}+S_{\triangle BQM}=\dfrac 12\left(x_B-x_E\right)\times \dfrac{25}{12}=\dfrac{125}{24}$．
同理可得，$Q$ 在 $C_2$ 上时，最大面积为 $\dfrac{45}{8}$．
综上最大面积为 $\dfrac {45}{8}$．