在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y=x^2-2mx+m^2-1$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），抛物线与 $y$ 轴交于点 $C$（点 $C$ 不与原点 $O$ 重合），若 $\triangle OAC$ 的面积始终小于 $\triangle ABC$ 的面积，求 $m$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$m$ 的取值范围为 $-1<m<3$ 且 $m\ne 1$
【解析】
令 $y=0$，即 $x^2-2mx+m^2-1=0$，
解得 $x=m\pm 1$，
所以点 $A(m-1,0),B(m+1,0)$，$AB=2$．
令 $x=0$，即 $y=m^2-1$，
所以点 $C(0,m^2-1)$．
而点 $C$ 不与原点重合，即 $m^2-1=0$，解得 $m\ne\pm 1$．
由 $S_{\triangle OAC}<S_{\triangle ABC}$，可得 $\dfrac 12OC\cdot OA<\dfrac 12 OC\cdot AB$，
即 $OA<AB$．
① 当点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上时，有 $m-1<2$，
即 $m<3$；
② 当点 $A$ 在 $x$ 轴的负半轴上时，有 $-m+1<2$，
即 $m>-1$．
综上可得，$m$ 的取值范围为 $-1<m<3$ 且 $m\ne 1$．
解得 $x=m\pm 1$，
所以点 $A(m-1,0),B(m+1,0)$，$AB=2$．
令 $x=0$，即 $y=m^2-1$，
所以点 $C(0,m^2-1)$．
而点 $C$ 不与原点重合，即 $m^2-1=0$，解得 $m\ne\pm 1$．
由 $S_{\triangle OAC}<S_{\triangle ABC}$，可得 $\dfrac 12OC\cdot OA<\dfrac 12 OC\cdot AB$，
即 $OA<AB$．
① 当点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上时，有 $m-1<2$，
即 $m<3$；
② 当点 $A$ 在 $x$ 轴的负半轴上时，有 $-m+1<2$，
即 $m>-1$．
综上可得，$m$ 的取值范围为 $-1<m<3$ 且 $m\ne 1$．
答案
解析
备注
