题目 已知函数 $f(x)=a\sin x-\dfrac12\cos 2x+a-\dfrac3a+\dfrac12$，$a\in\mathbb R$ 且 $a\ne0$． 问题1 若对任意 $x\in\mathbb R$，都有 $f(x)\leqslant0$，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $(0,1]$ 解析1 因为$$f(x)=\sin^2x+a\sin x+a-\dfrac3a,$$令 $t=\sin x(-1\leqslant t\leqslant 1)$，则$$g(t)=t^2+at+a-\dfrac3a.$$对任意 $x\in\mathbb R$，$f(x)\leqslant0$ 恒成立的充要条件是$$\begin{cases}g(-1)=1-\dfrac3a\leqslant0,\\g(1)=1+2a-\dfrac3a\leqslant0,\end{cases}$$解得 $a$ 的取值范围为 $(0,1]$． 备注1 问题2 若 $a\geqslant2$，且存在 $x\in\mathbb R$，使得 $f(x)\leqslant0$，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $[2,3]$ 解析2 因为 $a\geqslant2$，所以 $-\dfrac{a}{2}\leqslant-1$，因此$$g(t)_{\min}=g(-1)=1-\dfrac3a,$$故$$f(x)_{\min}=1-\dfrac3a,$$于是，存在 $x\in\mathbb R$，使得 $f(x)\leqslant0$ 的充要条件是$$1-\dfrac3a\leqslant0,$$解得 $0<a\leqslant3$．<br/>因此 $a$ 的取值范围是 $[2,3]$． 备注2