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  代几综合

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  函数与面积

当 $0<t\leqslant 8$ 时，$\triangle APC$ 面积的最大值为 $12$

由题意知 $ x_1,x_2 $ 是方程 $ mx^2-8mx+4m+2=0 $ 的两根，
所以 $ x_1+x_2=8 $．
由 $ \begin{cases}
x_1+x_2=8,\\x_2-x_1=4.
\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x_1=2,\\x_2=6.
\end{cases} $
所以 $ B\left(2,0\right) $，$ C\left(6,0\right) $．
则 $ 4m-16m+4m+2=0 $，
解得 $ m=\dfrac 14 $，
所以该抛物线解析式为 $ y=\dfrac 14x^2-2x+3 $．
可求得 $ A\left(0,3\right) $．
设直线 $ AC $ 的解析式为 $ y=kx+b $，
由 $ \begin{cases}
b=3,\\6k+b=0.
\end{cases} $
解得 $ \begin{cases}
k=-\dfrac 12,\\b=3.
\end{cases} $
所以直线 $ AC $ 的解析式为 $y=-\dfrac 12x+3$．
要构成 $\triangle APC$，显然 $t\neq 6$，分两种情况讨论：
① 当 $0<t<6$ 时，设直线 $l$ 与 $AC$ 交点为 $F$，则 $F\left(t,-\dfrac 12t+3 \right)$．
因为 $ P\left(t,\dfrac 14t^2-2t+3 \right)$，
所以 $ PF=-\dfrac 14t^2+\dfrac 32t$，
所以
$ \begin{split} S_{\triangle APC}&=S_{\triangle APF}+S_{\triangle CPF}\\ &=\dfrac 12\left(-\dfrac 14t^2+\dfrac 32t\right)\cdot t+\dfrac 12\left(-\dfrac 14t^2+\dfrac 32t\right)\cdot \left(6-t\right)\\ &=\dfrac 12\left(-\dfrac 14t^2+\dfrac 32t\right)\cdot 6\\ &=-\dfrac 34\left(t-3\right)^2+\dfrac{27}{4}.\end{split} $
此时 $ S_{\triangle APC} $ 的最大值为 $\dfrac{27}{4}$．
② 当 $6< t\leqslant 8$ 时，设直线 $l$ 与 $AC$ 交点为 $M$，则 $M\left(t,-\dfrac 12t+3 \right)$．
因为 $ P\left(t,\dfrac 14t^2-2t+3 \right)$，
所以 $ PM=\dfrac 14t^2-\dfrac 32t$，
所以
$ \begin{split} S_{\triangle APC}&=S_{\triangle APF}-S_{\triangle CPF}\\ &=\dfrac 12\left(\dfrac 14t^2-\dfrac 32t\right)\cdot t-\dfrac 12\left(\dfrac 14t^2-\dfrac 32t\right)\cdot \left(t-6\right)\\ &=\dfrac 34t^2-\dfrac 92t\\ &=\dfrac 34\left(t-3\right)^2-\dfrac{27}{4}.\end{split} $
当 $t=8$ 时，$ S_{\triangle APC} $ 取最大值，最大值为 $12$．
综上可知，当 $0<t\leqslant 8$ 时，$\triangle APC$ 面积的最大值为 $12$．

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  代几综合

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  相似三角形的存在性

存在，$t=\dfrac{16}{3}$ 或 $t=\dfrac{32}{3}$ 或 $t=14$

在 $\triangle AOB$ 中，$\angle AOB=90^\circ $，$AO=3$，$BO=2$，
在 $\triangle APQ$ 中，$Q\left(t,3\right)$，$P\left(t,\dfrac 14t^2-2t+3\right)$．
① 当 $2<t\leqslant 6$ 时，$AQ=t$，$PQ=-\dfrac 14t^2+2t$．
若 $\triangle AOB\backsim \triangle AQP$，则 $\dfrac{AO}{AQ}=\dfrac{BO}{PQ}$，
即 $\dfrac 3t=\dfrac{2}{-\dfrac 14t^2+2t} $，
所以 $ t=0$（舍），或 $t=\dfrac{16}{3}$．
若 $\triangle AOB\backsim \triangle PQA$，则 $\dfrac{AO}{PQ}=\dfrac{OB}{AQ}$，
即 $\dfrac{3}{-\dfrac 14t^2+2t}=\dfrac 2t$，
所以 $ t=0$（舍）或 $t=2$（舍）；
② 当 $t>6$ 时，$AQ'=t$，$PQ'=\dfrac 14t^2-2t$．
若 $\triangle AOB\backsim \triangle AQP$，则 $\dfrac{AO}{AQ'}=\dfrac{BO}{P'Q'}$，
即 $\dfrac 3t=\dfrac{2}{\dfrac 14t^2-2t}$，
所以 $ t=0$（舍），或 $t=\dfrac{32}{3}$．
若 $\triangle AOB\backsim \triangle PQA$，则 $\dfrac{AO}{P'Q'}=\dfrac{OB}{AQ'}$，
即 $\dfrac 2t=\dfrac{3}{\dfrac 14t^2-2t}$，
所以 $t=0$（舍）或 $t=14$．
综上，当 $t=\dfrac{16}{3}$ 或 $t=\dfrac{32}{3}$ 或 $t=14$ 时，以 $ A ,P,Q $ 为顶点的三角形与 $ \triangle AOB $ 相似．