设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且满足 $\sin A+\sin B=(\cos A+\cos B)\sin C$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
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求证：$\triangle ABC$ 为直角三角形；标注答案略解析题中等式结合和差化积公式，得$$2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}\cdot\sin(A+B),$$再利用二倍角公式，有$$2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}\cdot2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A+B}{2}.$$因为$$\sin\dfrac{A+B}{2}\ne0,\cos\dfrac{A-B}{2}\ne0,$$所以$$2\cos^2\dfrac{A+B}{2}=1,$$即$$\cos(A+B)=0.$$再结合$$0^\circ<A+B<180^\circ,$$所以 $A+B=90^\circ$．
因此 $\triangle ABC$ 是以点 $C$ 为直角顶点的直角三角形． -
若 $a+b+c=1+\sqrt2$，求 $\triangle ABC$ 面积的最大值．标注答案$\dfrac14$解析因为 $\triangle ABC$ 为直角三角形，且$$a+b+c=1+\sqrt2$$为定值，所以当且仅当 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形时，面积最大．
当 $\triangle ABC$ 为等腰直角三角形时，$$a=b=\dfrac{\sqrt2}{2}c,$$代入$$a+b+c=1+\sqrt2,$$解得 $c=1$，从而$$a=b=\dfrac{\sqrt2}{2},$$故 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\dfrac14$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
