已知函数 $f(x)=x\ln x$，$g(x)=-x^2+ax-3,a\in\mathbb R$．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛陕西省预赛（二试）
【标注】
-
若对任意 $x\in(0,+\infty)$，不等式 $f(x)\geqslant\dfrac12g(x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；标注答案$(-\infty,4]$解析当 $x>0$ 时，不等式$$x\ln x\geqslant\dfrac12(-x^2+ax-3)$$恒成立，也就是$$a\leqslant2\ln x+x+\dfrac3x.$$令$$h(x)=2\ln x+x+\dfrac3x,$$则 $a\leqslant h(x)_{\min}$．
求导得$$h'(x)=\dfrac{(x+3)(x-1)}{x^2},$$所以函数 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，所故$$h(x)_{\min}=h(1)=4,$$所以 $a\leqslant4$．
因此 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,4]$． -
证明：对任意 $x\in(0,+\infty)$，有 $\ln x>\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}-\dfrac{2}{\mathrm{e}x}$．标注答案略解析要证 $\ln x>\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}-\dfrac{2}{\mathrm{e}x}$，只需证$$x\ln x>\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}-\dfrac{2}{\mathrm{e}}.$$因为 $f(x)=x\ln x$，求导得$$f'(x)=\ln x+1,$$所以 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ 上单调递增．
因此，当 $x>0$ 时，$$f(x)\geqslant f\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)=-\dfrac{1}{\mathrm{e}}.\qquad\cdots\cdots\text{ ① }$$令 $\varphi(x)=\dfrac{x}{\mathrm{e}^x}-\dfrac{2}{\mathrm{e}},x>0$，求导得$$\varphi'(x)=\dfrac{1-x}{\mathrm{e}^x},$$所以 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，故$$\varphi(x)\leqslant\varphi(1)=-\dfrac{1}{\mathrm{e}}.\qquad\cdots\cdots\text{ ② }$$显然，不等式 $\text{ ①② }$ 中的等号不能同时成立．
因此当 $x>0$ 时，$f(x)>\varphi(x)$，即 $\ln x>\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}-\dfrac{2}{\mathrm{e}x}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
