题目 已知 $\dfrac 13 \leqslant a \leqslant 1$，若 $f(x)=ax^2-2x+1$ 在 $[1, 3]$ 上的最大值为 $M(a)$，最小值为 $N(a)$，令 $g(a)=M(a)-N(a)$． 问题1 求 $g(a)$ 的函数表达式； 答案1 $$g(a)=\begin{cases}a-2+\dfrac 1a,&a \in \left[\dfrac 13,\dfrac 12\right],\\ 9a-6+\dfrac 1a,&a \in \left[\dfrac 12,1\right]\end{cases}$$ 解析1 由$$f(x)=a\left(x-\dfrac 1a\right)^2+\left(1-\dfrac 1a\right),$$知$$N(a)=f\left(\dfrac 1a\right)=1-\dfrac 1a.$$当 $1 \leqslant \dfrac 1a \leqslant 2$，即 $\dfrac 12 \leqslant a \leqslant 1$ 时，$$M(a)=f(3)=9a-5,$$所以$$g(a)=9a-6+\dfrac 1a.$$当 $2 \leqslant \dfrac 1a \leqslant 3$，即 $\dfrac 13 \leqslant a \leqslant \dfrac 12$ 时，$$M(a)=f(1)=a-1,$$所以$$g(a)=a-2+\dfrac 1a.$$综上知$$g(a)=\begin{cases}a-2+\dfrac 1a,&a \in \left[\dfrac 13,\dfrac 12\right],\\ 9a-6+\dfrac 1a,&a \in \left[\dfrac 12,1\right].\end{cases}$$ 备注1 问题2 求证：$g(a)\geqslant \dfrac 12$ 恒成立． 答案2 略 解析2 当 $\dfrac 13 \leqslant a_1<a_2 \leqslant \dfrac 12$ 时，\[\begin{split}g(a_1)-g(a_2)&=\left(a_1-2+\dfrac {1}{a_1}\right)-\left(a_2-2+\dfrac {1}{a_2}\right)\\&=(a_1-a_2)\left( 1- \dfrac {1}{a_1a_2}\right)>0,\end{split}\]所以 $g(a)$ 在 $\left[\dfrac 13,\dfrac 12\right]$ 上单调递减．<br/>当 $\dfrac 12 \leqslant a_1<a_2 \leqslant 1$ 时，\[\begin{split}g(a_1)-g(a_2)&=\left(9a_1-6+\dfrac {1}{a_1}\right)-\left(9a_2-6+\dfrac {1}{a_2}\right)\\&=(a_1-a_2)\left( 9- \dfrac {1}{a_1a_2}\right)<0,\end{split}\]所以 $g(a)$ 在 $\left[\dfrac 12,1\right]$ 上单调递增．<br/>因此 $g(x)$ 的最小值为$$g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac 12,$$故 $g(a) \geqslant \dfrac 12$． 备注2