已知 $F_1$，$F_2$ 分别为椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点，$P$ 为椭圆上一点．$\triangle F_1PF_2$ 中 $\angle F_1PF_2$ 的外角平分线为 $l$，点 $F_2$ 关于 $l$ 的对称点为 $Q$，$F_2Q$ 交 $l$ 于点 $R$．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
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当点 $P$ 在椭圆上运动时，求点 $R$ 的轨迹方程；标注答案$x^2+y^2=a^2$（$y\neq 0$）解析设动点 $R(x,y)$，$Q(x_1,y_1)$，则$$\begin{cases}x=\dfrac {x_1+c}{2},\\ y=\dfrac {y_1}{2},\end{cases}$$于是$$\begin{cases}x_1=2x-c,\\ y_1=2y.\end{cases}\quad \cdots \cdots \text{ ① }$$因为 $P$ 在椭圆上，所以$$|PF_1|+|PF_2|=2a,$$由 $F_2$，$Q$ 关于 $l$ 对称，可知$$|PF_2|=|PQ|.$$又因为 $F_1$，$P$，$Q$ 共线，所以$$|PF_1|+|PQ|=|F_1Q|,$$即 $|F_1Q|=2a$，故$$(x_1+c)^2+y_1^2=4a^2.$$由 ① 得$$4x^2+4y^2=4a^2,$$即$$x^2+y^2=a^2(y\neq 0),$$从而 $R$ 形成的轨迹方程为 $x^2+y^2=a^2$（$y\neq 0$）．
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设点 $R$ 的轨迹为曲线 $C$，直线 $l':y=k(x+\sqrt 2a)$ 与曲线 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$\triangle AOB$ 的面积为 $S$，求 $S$ 取得最大值时 $k$ 的值．标注答案$\pm\dfrac{\sqrt 3}{3}$解析设 $\angle AOB=\alpha$，则$$S_{\triangle AOB}=\dfrac 12|OA|\cdot |OB|\cdot \sin \alpha=\dfrac 12a^2\sin \alpha.$$当 $\alpha=90^{\circ}$ 时，$S_{\triangle AOB}$ 最大，此时点 $O$ 到直线 $l$ 距离$$d=\dfrac {|\sqrt 2ak|}{\sqrt {1+k^2}}.$$在 $\triangle AOC$ 中，$$\dfrac da=\cos 45^{\circ}=\dfrac {\sqrt 2}{2},$$即$$\dfrac {|\sqrt 2k|}{\sqrt {1+k^2}}=\dfrac {\sqrt 2}{2},$$所以 $k=\pm\dfrac{\sqrt 3}{3}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
