已知函数$$f(x)=\sin \left(x+\dfrac {\pi}{4}\right)+2\sin \left(x-\dfrac {\pi}{4}\right)-4\cos 2x+3\cos\left(x+\dfrac {3\pi}{4}\right).$$
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
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试判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并给出证明；标注答案$f(x)$ 为偶函数解析化简可得$$f(x)=-2\sqrt 2\cos x-4\cos 2x,$$所以\[\begin{split} f(-x)&=-2\sqrt 2\cos (-x)-4\cos (-2x)\\&=-2\sqrt 2\cos x-4\cos 2x=f(x).\end{split}\]因此 $f(x)$ 为偶函数．
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求 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac {\pi}{2},\pi\right]$ 上的最小值与最大值．标注答案最小值为 $4$，最大值为 $\dfrac {17}{4}$解析因为 $x \in \left[\dfrac {\pi}{2},\pi\right]$，所以$$-1 \leqslant \cos x \leqslant 0,$$而\[\begin{split} f(x)&=-2\sqrt 2\cos x-4(2\cos ^2x-1)\\&=-8\cos ^2x-2\sqrt 2\cos x+4\\& = -8\left(\cos x+\dfrac {\sqrt 2}{8}\right)^2+\dfrac {17}{4},\end{split}\]所以当 $\cos x=0$ 时，$f(x)$ 有最小值为 $4$；
当 $\cos x=-\dfrac {\sqrt 2}{8}$ 时，$f(x)$ 有最大值为 $\dfrac {17}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
