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已知函数 $f(x)=\sqrt x+\sqrt{3-x}$，下列命题正确的是 \((\qquad)\)
A: $f(x)$ 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形
B: $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 32\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 32,3\right)$ 上单调递减
C: $f(x)$ 的最大值为 $\sqrt 3$，最小值为 $0$
D: $f(x)$ 的最大值为 $\sqrt 6$，最小值为 $\sqrt 3$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的对称性
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的最值
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的单调性
【答案】
ABD
【解析】
对于选项 A，由于\[f(3-x)=f(x)\]于是 $f(x)$ 有对称轴 $x=\dfrac 32$，因此 $f(x)$ 的图象是轴对称图形，不是中心对称图形；
对于选项 BCD，
函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,3]$，其导函数\[f'(x)=\dfrac{\sqrt {3-x}-\sqrt x}{2\sqrt{x(3-x)}},\]于是\[\begin{array} {c|ccccc} \hline
x&0&\left(0,\dfrac 32\right)&\dfrac 32&\left(\dfrac 32,3\right)&3\\ \hline
f(x)&\sqrt 3&\nearrow&\sqrt 6&\searrow&\sqrt 3\\ \hline
\end{array}\]因此选项 BD 正确，选项 C 错误．
题目 答案 解析 备注
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