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已知双曲线 $E:x^2-y^2=2$，直线 $l$ 与双曲线 $E$ 右支交于 $A,B$，记 $f=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$，则 \((\qquad)\)
A: $f$ 的最小值为 $2$，且此时 $l$ 与 $x$ 轴平行
B: $f$ 的最小值为 $2$，且此时 $l$ 与 $x$ 轴垂直
C: $f$ 的最大值为 $2$，且此时 $l$ 与 $x$ 轴平行
D: $f$ 的最大值为 $2$，且此时 $l$ 与 $x$ 轴垂直
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    常用不等式
    >
    均值不等式
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    双曲线
    >
    双曲线的方程
【答案】
D
【解析】
记 $A\left(\sqrt{2+a^2},a\right)$，$B\left(\sqrt{2+b^2},b\right)$，其中 $a,b\in\mathbb R$，$a\ne b$，则\[\begin{split} f&=\sqrt{2+a^2}\cdot \sqrt{2+b^2}+a\cdot b\\
&=\sqrt{4+2a^2+2b^2+a^2b^2}+ab\\
&\geqslant\sqrt{4+4|ab|+a^2b^2}+ab\\
&=|ab|+2+ab\\
&\geqslant 2,\end{split}\]等号当 $a=-b$ 时取得．因此 $f$ 的最小值为 $2$，且此时 $l$ 与 $x$ 轴垂直．
题目 答案 解析 备注
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